Математикадан облыстық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 11 сынып

Екі шеңбер $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $B$ нүктесі арқылы жүргізілген түзу бірінші және екінші шеңберді, $B$-дан өзгеше, сәкесінше $C$ және $D$ нүктелерінде қияды. Бірінші шеңберге $C$ нүктесінде жүргізілген жанама екінші шеңберге $D$ нүктесінде жүргізілген жанамамен $M$ нүктесінде қиылысады. $AM$ мен $CD$ түзулердің қиылысу нүктесі арқылы өтетін және $CM$-ге параллель болатын түзу $AC$ түзумен $K$ нүктеде қиылысады. $BK$ түзуі екінші шеңбердің жанамасы болып табылатынын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Пусть $E = AM \cap CD$, $F = KE \cap MD$. $\angle CAB = \angle MCD, \angle BAD = \angle MDC$, тогда $\angle CMD = 180^\circ - (\angle CAB + \angle BAD) = 180^\circ - \angle CAD$, откуда $CADM$ вписанный. $\angle KAB = \angle MCE = \angle KEC$, так как $KE \parallel CM$, значит $KAEB$ вписанный.$\angle DAM = \angle DCM = \angle DEF$, так как $FE \parallel CM$, значит $KF$ касается описанной окружности $AED$ в точке $E$, откуда $\angle ADE = \angle AEK = \angle ABK$, так как $KAEB$ вписанный, то есть $\angle ABK = \angle ADB$, а значит $BK$ касается описанной окружности треугольника $ABD$, что и требовалось доказать.