Математикадан облыстық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Кез келген нақты $x,y$ сандары үшін $f\left( x-f(y) \right)=1-x-y$ шартын қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. $a$, $b$ және $c$ оң нақты сандары $a+b+c=1$ теңдігін қанағаттандырады. Келесі теңсіздіктің орындалатынын делелдеңіздер: $\sqrt{3a+b+1}+\sqrt{3b+c+1}+\sqrt{3c+a+1}\le \sqrt{21}$.
комментарий/решение(13)

Есеп №3. Үш бүтін сандардың квадраттарының үш еселенген қосындысын төрт бүтін сандардың квадраттарының қосындысы түрінде көрсетуге болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. $ABCD$ төртбұрышы диаметрі $BD$ болып табылатын шеңберге іштей сызылған. $F$ нүктесі $BD$ түзүіне қарағанда $A$ нүктесіне симметриялы нүкте болса, ал $N$ нүктесі $AF$ және $BD$ түзулерінің қиылысу нүктесі болсын. $N$ нүктесі арқылы өтетін және $AC$ түзуіне параллель болатын түзу $CD$ және $BC$ түзулерімен сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қиылысады. $P$, $C$, $Q$ және $F$ нүктелері тіктөртбұрыш құрайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №5. 0, 1, 2, 3 сандарынан құралған ${{x}_{1}}{{x}_{2}}\ldots {{x}_{n}}$ тізбегі берілген. Кез келген $i=1,2,\ldots ,n-1$ үшін $\overline{{{x}_{i}}{{x}_{i+1}}}$ мынадай мәндерді қабылдамайды: 12, 13, 32 және 33. Осындай қанша тізбек бар?
комментарий/решение

Есеп №6. Үшбұрыштың ауданын да, перметрін де қақ бөлетін түзу осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі арқылы өтетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(4)

Есеп №7. Егер $7\times 7$ торкөз тақтаның бір шаршысын алып тастағаннан кейін, тақтаның қалған бөлігін он бес түріндегі

және бұрыш түріндегі бір

фигуралармен жауып шығуға мүмкін емес болса, онда ол шаршы «нашар» деп аталады. Тақтаның барлық «нашар» шаршьшарын анықтаңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №8. $P(x)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+\ldots +{{a}_{n}}{{x}^{n}}$ көпмүшелігі берілген, мұндағы $0\le {{a}_{i}}\le {{a}_{0}}$, $i=1,2,\ldots n$. ${{(P(x))}^{2}}$ көпмүшелігінде ${{x}^{n+1}}$-дің алдында тұратын коэффициенті $a$-ға тең болсын. $2a\le {{(P(1))}^{2}}$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение