Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс


Докажите, что прямая, делящая площадь и периметр треугольника пополам, проходит через центр вписанной окружности.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
8 года 10 месяца назад #

Представим себе треугольник. Вспомним, что площадь треугольника равна полупроизведению высоты на основание. Из этого следует, что прямая, делящая треугольник на две равновеликие части , проходит через середину основания. Но в таком случае чтобы эта линия (медиана) делила треугольник на два треугольника с равными периметрами, другие две стороны должны быть равны (ведь у этих треугольников уже равны две стороны). А это значит, что треугольник равнобедренный, медиана в нем и биссектриса совпадают,. Центр вписанной окружности есть пересечение биссектрис, а это значит, что искомая прямая проходит через центр вписанной окружности.

  1
3 года 10 месяца назад #

У тебя решение не правильно. Если прямая делит треугольник на равные по площади фигуры, это не означает что оно проходит через середину стороны.

  2
3 года 10 месяца назад #

ну да. Я почему то подразумевал, что прямая должна проходить через одну из вершин треугольника. Конечно, в общем случае через середину не пройдёт, решение не верно.

  4
3 года 10 месяца назад #

Случай где данная прямая проходит через одну из вершин был разобран сверху. Теперь будем считать что он пересекает 2 стороны треугольника. Пусть данный треугольник будет ABC, а прямая пересекает AC и BC в точках X и Y. Обозначим через I пересечение биссектрисы угла C и XY. Докажем что I центр вписанной окружности. Для этого достаточно доказать что расстояние от I до BC (IH) равно радиусу вп.окру. Пусть угол C равен 2x. Заметим такие факты: IH=CIsinx, SABC=2SCXY=CXCYsin2x, CX+CY=pABC. Тогда используя эти факты, и свойства чевианы, биссектрисы:

pABCCX=1+CYCX=XYIX=CYsin2xCIsinx=CYsin2xIH,

из этого следует что:

IH=CXCYsin2xpABC=SABCpABC=rABC, что и требовалось доказать .