Областная олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Представим себе треугольник. Вспомним, что площадь треугольника равна полупроизведению высоты на основание. Из этого следует, что прямая, делящая треугольник на две равновеликие части , проходит через середину основания. Но в таком случае чтобы эта линия (медиана) делила треугольник на два треугольника с равными периметрами, другие две стороны должны быть равны (ведь у этих треугольников уже равны две стороны). А это значит, что треугольник равнобедренный, медиана в нем и биссектриса совпадают,. Центр вписанной окружности есть пересечение биссектрис, а это значит, что искомая прямая проходит через центр вписанной окружности.
Случай где данная прямая проходит через одну из вершин был разобран сверху. Теперь будем считать что он пересекает 2 стороны треугольника. Пусть данный треугольник будет ABC, а прямая пересекает AC и BC в точках X и Y. Обозначим через I пересечение биссектрисы угла C и XY. Докажем что I центр вписанной окружности. Для этого достаточно доказать что расстояние от I до BC (IH) равно радиусу вп.окру. Пусть угол C равен 2x. Заметим такие факты: IH=CI•sinx, SABC=2SCXY=CX•CY•sin2x, CX+CY=pABC. Тогда используя эти факты, и свойства чевианы, биссектрисы:
pABCCX=1+CYCX=XYIX=CY•sin2xCI•sinx=CY•sin2xIH,
из этого следует что:
IH=CX•CY•sin2xpABC=SABCpABC=rABC, что и требовалось доказать .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.