Областная олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найдите все функции

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , удовлетворяющие условию

$f(x-f(y))=1-x-y,$ для любых вещественных

$x$ и

$y$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Положительные числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ удовлетворяют равенству

$a + b + c = 1$ . Доказать справедливость неравенства

$\sqrt{3a+b+1}+\sqrt{3b+c+1}+\sqrt{3c+a+1}\leq \sqrt{21}.$
комментарий/решение(14)

Задача №3. Докажите, что утроенную сумму трех квадратов целых чисел можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Четырехугольник

$ABCD$ вписан в окружность с диаметром

$BD$ . Пусть

$F$ симметрично

$A$ относительно

$BD$ , а

$N$ — точка пересечения

$AF$ и

$BD$ . Прямая, проходящая через

$N$ и параллельно

$AC$ , пересекается с прямыми

$CD$ и

$BC$ в точках

$P$ и

$Q$ , соответственно. Докажите, что точки

$P$ ,

$C$ ,

$Q$ и

$F$ — вершины прямоугольника.
комментарий/решение(3)

Задача №5. Дана последовательность

$x_1, x_2, \dots , x_n$ состоящая из чисел

$0,\ 1,\ 2,\ 3$ . Для любого

$i=1$ ,

$2$ ,

$\dots$ ,

$n-1$ ,

$\overline{x_ix_{i+1}}$ не принимает ни одно из следующих значений: 12, 13, 32 и 33. Сколько всего существует таких последовательностей?
комментарий/решение

Задача №6. Докажите, что прямая, делящая площадь и периметр треугольника пополам, проходит через центр вписанной окружности.
комментарий/решение(4)

Задача №7. Клетка клетчатой доски

$7\times 7$ называется

$\textit{плохой}$ , если удалив ее оставшуюся часть нельзя будет замостить пятнадцатью фигурками вида

и одной фигуркой вида

. Укажите все

$\textit{плохие}$ клетки.
комментарий/решение(1)

Задача №8. Дан многочлен

$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+ \dots +a_nx^n$ , где

$0 \leq a_i \leq a_0$ ,

$i=1$ ,

$2$ ,

$\dots$ ,

$n$ . Пусть

$a$ — коэффициент многочлена

$(P(x))^2$ при

$x^{n+1}$ . Докажите, что

$2a\leq (P(1))^2$ .
комментарий/решение