Областная олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс
Докажите, что утроенную сумму трех квадратов целых чисел можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
$$3(x^2+y^2+z^2)=2(x^2+y^2+z^2)+(x^2+y^2+z^2)=$$
$$=2(x^2+y^2+z^2)-2xy-2xz-2yz+\left[x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right]=$$
$$=3(x^2+y^2+z^2)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+(x+y+z)^2$$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.