Областная олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс

Докажите, что утроенную сумму трех квадратов целых чисел можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел.

Комментарий/решение

$$3(x^2+y^2+z^2)=2(x^2+y^2+z^2)+(x^2+y^2+z^2)=$$

$$=2(x^2+y^2+z^2)-2xy-2xz-2yz+\left[x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right]=$$

$$=3(x^2+y^2+z^2)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+(x+y+z)^2$$