Областная олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс


Положительные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют равенству $a + b + c = 1$. Доказать справедливость неравенства $$\sqrt{3a+b+1}+\sqrt{3b+c+1}+\sqrt{3c+a+1}\leq \sqrt{21}.$$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1 | проверено модератором
2017-03-14 16:22:13.0 #

$$\mathbb{S}_{арифм.}\leq \mathbb{S}_{квадр.}\Rightarrow \frac{x+y+z}{3}\leq \sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}\Rightarrow \left(\frac{x+y+z}{2} \right)^2\leq \frac{x^2+y^2+z^2}{3}$$

$$x=\sqrt{3a+b+1}, y=\sqrt{3b+c+1}, z=\sqrt{3c+a+1} \Rightarrow$$

$$ \Rightarrow \left(\frac{\sqrt{3a+b+1}+\sqrt{3b+c+1}+\sqrt{3c+a+1}}{3}\right)^2\leq \frac{4(a+b+c)+3}{3}=\frac{7}{3}$$

  4
2023-08-25 12:13:03.0 #

$\sqrt {3a+b+1}=x$,$\sqrt {3b+c+1}=y$,$\sqrt{3c+a+1}=z$.

$x+y+z \leq \sqrt {3(x²+y²+z²}$

$(x+y+z)² \leq (1+1+1)(x²+y²+z²)$

Это верно по Коши буняковскому

  1
2024-01-30 20:20:59.0 #

С книги легко катать

  0
2024-01-31 06:31:18.0 #

Невтемщик офнис

  0
2024-02-01 22:18:19.0 #

Сигма

  0
2024-02-02 12:24:04.0 #

симка

  0
2024-02-02 22:46:57.0 #

Но я согласен что симка момент

  0
2024-02-02 22:46:20.0 #

На самом деле у меня нет книги области

  1
2024-02-03 16:45:15.0 #

Да да да кому ты врешь

  0
2024-02-03 17:42:11.0 #

Уаллахи нету

  0
2024-02-03 22:53:14.0 #

Семга

  0
2024-02-04 16:36:58.0 #

сигма

  0
2024-02-03 17:42:24.0 #

Четам