Математикадан облыстық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 10 сынып

$a$, $b$ және $c$ оң нақты сандары $a+b+c=1$ теңдігін қанағаттандырады. Келесі теңсіздіктің орындалатынын делелдеңіздер: $\sqrt{3a+b+1}+\sqrt{3b+c+1}+\sqrt{3c+a+1}\le \sqrt{21}$.

Комментарий/решение

$$\mathbb{S}_{арифм.}\leq \mathbb{S}_{квадр.}\Rightarrow \frac{x+y+z}{3}\leq \sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}\Rightarrow \left(\frac{x+y+z}{2} \right)^2\leq \frac{x^2+y^2+z^2}{3}$$

$$x=\sqrt{3a+b+1}, y=\sqrt{3b+c+1}, z=\sqrt{3c+a+1} \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \left(\frac{\sqrt{3a+b+1}+\sqrt{3b+c+1}+\sqrt{3c+a+1}}{3}\right)^2\leq \frac{4(a+b+c)+3}{3}=\frac{7}{3}$$

$\sqrt {3a+b+1}=x$,$\sqrt {3b+c+1}=y$,$\sqrt{3c+a+1}=z$.

$x+y+z \leq \sqrt {3(x²+y²+z²}$

$(x+y+z)² \leq (1+1+1)(x²+y²+z²)$

Это верно по Коши буняковскому

С книги легко катать

Невтемщик офнис

Сигма

симка

Но я согласен что симка момент

На самом деле у меня нет книги области

Да да да кому ты врешь

Уаллахи нету

Семга

сигма

Четам

$(\sqrt{3a+b+1}+\sqrt{3b+c+1}+\sqrt{3c+a+1})^2\le 3(3a+b+1+3b+c+1+3c+a+1)=21$