Областная олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс

Дан многочлен $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+ \dots +a_nx^n$, где $0 \leq a_i \leq a_0$, $i=1$, $2$, $\dots$, $n$. Пусть $a$ — коэффициент многочлена $(P(x))^2$ при $x^{n+1}$. Докажите, что $2a\leq (P(1))^2$.

Комментарий/решение

Заметим что:

$(a_1 x^1 \cdot a_n x^n+a_2 x^2 \cdot a_{n-1} x^{n-1}+\dots+a_n x^n \cdot a_1 x^1)=ax^{n+1}$

Наше неравенство преобретает вид:

$$2(a_1 \cdot a_n+a_2 \cdot a_{n-1} +\dots+a_n \cdot a_1) \leq (a_0+\dots+a_n)^2 $$

$$2(a_1 \cdot a_n+a_2 \cdot a_{n-1} +\dots+a_n \cdot a_1) \leq 2a_0(a_1+\dots+a_n) \leq 2a_0(a_1+\dots+a_n)+(a_1a_n+\dots+a_na_1)+a_0^2+\dots+a_n^2=(a_0+\dots+a_n)^2$$