Математикадан облыстық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 10 сынып

$P(x)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+\ldots +{{a}_{n}}{{x}^{n}}$ көпмүшелігі берілген, мұндағы $0\le {{a}_{i}}\le {{a}_{0}}$, $i=1,2,\ldots n$. ${{(P(x))}^{2}}$ көпмүшелігінде ${{x}^{n+1}}$-дің алдында тұратын коэффициенті $a$-ға тең болсын. $2a\le {{(P(1))}^{2}}$ екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Заметим что:

$(a_1 x^1 \cdot a_n x^n+a_2 x^2 \cdot a_{n-1} x^{n-1}+\dots+a_n x^n \cdot a_1 x^1)=ax^{n+1}$

Наше неравенство преобретает вид:

$$2(a_1 \cdot a_n+a_2 \cdot a_{n-1} +\dots+a_n \cdot a_1) \leq (a_0+\dots+a_n)^2 $$

$$2(a_1 \cdot a_n+a_2 \cdot a_{n-1} +\dots+a_n \cdot a_1) \leq 2a_0(a_1+\dots+a_n) \leq 2a_0(a_1+\dots+a_n)+(a_1a_n+\dots+a_na_1)+a_0^2+\dots+a_n^2=(a_0+\dots+a_n)^2$$