Областная олимпиада по математике, 2000 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. При каких значениях

$p$ , можно замостить квадрат размером

$p\times p$ без наложения фигурками вида

Задача №2. На доске написаны три целых числа. На каждом шаге стирается одно число и вместо него записывается сумма оставшихся двух, уменьшенное на единицу. После нескольких таких ходов на доске остались числа 17, 75, 91. Могло ли первоначально написанные числа равняться:
а) 2, 2, 2;

$\quad$
б) 3, 3, 3?
комментарий/решение(2)

Задача №3. Окружность

$\omega$ касается описанной окружности треугольника

$ABC$ внутренним образом в точке

$C$ и касается стороны

$AB$ в точке

$K$ . Докажите, что луч

$CK$ делит угол

$C$ пополам.
комментарий/решение(5)

Задача №4. Докажите равенство

$\frac{{\left( {1^4 + \frac{1} {4}} \right)\left( {3^4 + \frac{1} {4}} \right)\left( {5^4 + \frac{1} {4}} \right) \dots \left( {11^4 + \frac{1} {4}} \right)}} {{\left( {2^4 + \frac{1} {4}} \right)\left( {4^4 + \frac{1} {4}} \right)\left( {6^4 + \frac{1} {4}} \right) \dots \left( {12^4 + \frac{1} {4}} \right)}} = \frac{1} {{313}}.$
комментарий/решение(1)

Задача №5. Решите уравнение в целых числах

$(x+1)^4-(x-1)^4=y^3$ .
комментарий/решение(2)

Задача №6. На доске размером

$1999\times 1999$ покрашено несколько квадратиков

$1\times 1$ так, что на любой строке и на любом столбце имеется ровно один закрашенный квадратик. Докажите, что каждый квадрат

$1000 \times 1000$ (на этой доске) содержит хотя бы одну закрашенную клетку.
комментарий/решение(1)

Задача №7. Для произвольных положительных действительных чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ , удовлетворяющих равенству

$a+b+c=1$ , докажите следующее неравенство:

$\frac{{a^3 }} {{a^2 + b^2 }} + \frac{{b^3 }} {{b^2 + c^2 }} + \frac{{c^3 }} {{c^2 + a^2 }} \geq \frac{1} {2}.$
комментарий/решение(2)

Задача №8. Дан равнобедренный треугольник

$ABC$ , где

$\angle ABC = 120^ \circ + \alpha$ (

$AB=BC$ ). На стороне

$AB$ построен внешним образом равнобедренный треугольник

$ADB$ (

$AD=DB$ ) и

$\angle ADB=\alpha$ . Найдите

$\angle DCB$ .
комментарий/решение(1)