Математикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 9 сынып
ω шеңбері ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбермен C нүктесінде, ал AB кесіндісімен K нүктесінде жанасады. CK — C бұрышының биссектрисасы екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
X,Y - точки пересечения окружности ω - с прямыми BC,AC соответственно и D точка пересечения описанной окружности с CK, если провести касательную L в точке D, тогда ∠KXY=∠DBA , ∠KYX=∠DAB откуда L||AB, значит ΔKXY при гомотетии с центром в точке C перейдет в ΔDAB , значит XY||AB , то есть треугольники CXY и ABC подобны , откуда BXBC=AYAC или BKBC=AKAC , то есть CK биссектриса ∠ACB .
Решение 2.0)
Отрезки СА и СВ пересекают окружность ω в точках P и M соответственно. Так как точка С - центр гомотетии окружностей, то PM∥AB. То есть, ∠PKA=∠KPM=∠KCM=∠ACK.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.