Областная олимпиада по математике, 2000 год, 9 класс

Окружность $\omega$ касается описанной окружности треугольника $ABC$ внутренним образом в точке $C$ и касается стороны $AB$ в точке $K$. Докажите, что луч $CK$ делит угол $C$ пополам.

Комментарий/решение

$X,Y$ - точки пересечения окружности $\omega$ - с прямыми $BC,AC$ соответственно и $D$ точка пересечения описанной окружности с $CK$, если провести касательную $L$ в точке $D$, тогда $\angle KXY = \angle DBA$ , $\angle KYX = \angle DAB$ откуда $L || AB$, значит $\Delta KXY$ при гомотетии с центром в точке $C$ перейдет в $\Delta DAB$ , значит $XY || AB$ , то есть треугольники $CXY$ и $ABC$ подобны , откуда $\dfrac{BX}{BC} = \dfrac{AY}{AC}$ или $\dfrac{BK}{BC} = \dfrac{AK}{AC}$ , то есть $CK$ биссектриса $\angle ACB$ .

Точка Д откуда взялась

Пусть $M$ точка пересечения прямой $CK$ с описанной окружностью $ABC$, $l_1$, $l_2$ - касательные к описанной окружности в точках $C$ и $M$. $L$, $N$ - точки пересечения $l_1$ с $AB$ и $l_2$ соответственно. Тогда не трудно убедится, что $MN \parallel AC \Rightarrow$ дуги $AM$ i $MB$ равны

Вы имели в виду $MN || AB$ так как выходит что $\Delta KLC , \Delta MNC$ равнобедренные .

Решение 2.0)

Отрезки СА и СВ пересекают окружность $\omega$ в точках P и M соответственно. Так как точка С - центр гомотетии окружностей, то PM$\parallel$AB. То есть, $\angle$PKA=$\angle$KPM=$\angle$KCM=$\angle$ACK.