Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2000 год, 9 класс


На доске написаны три целых числа. На каждом шаге стирается одно число и вместо него записывается сумма оставшихся двух, уменьшенное на единицу. После нескольких таких ходов на доске остались числа 17, 75, 91. Могло ли первоначально написанные числа равняться:
а) 2, 2, 2;
б) 3, 3, 3?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
8 года 10 месяца назад #

а) Ответ: нет.

Обобщим вид (2,2,2) в (2r,2k,2m)

Заметим то-что после первого хода остается

(2k+2m-1,2k,2m) , теперь заметим какой бы ход мы не сделали цифры не изменят чётность.Где из вида (2a1,2a2,2a3) возможно получить только вид ( 2q1 -1,2q2,2q3 ), откуда из (2,2,2) невозможно получить (17,75,91).

б) Ответ: да

Например: (3,3,3) (3+3-1=5,3,3) (5,3,5+3-1=7)(5,5+7-1=11,7)(11+7-1=17,11,7)(17,11,17+11-1=27)(17,17+27-1=43,27)(17,43,43+17-1=59)(17,59+17-1=75,59)(17,75,75+17-1=91)(17,75,91).

  5
3 месяца 5 дней назад #

Если на доске написаны числы (a,b,c) и abc то до этих чисел на доске были чсилы (bc+1,b,c) соотственно. Если bc+1c то до этих сиел на доске были числы (bc+1,b2c+2,c) и т.д. На доске есть числы (17,75,91). Значить до этих чисел на доске были числы (17,75,59); (17,43,59); (17,43,27); (17,11,27); (17,11,7); (5,11,7); (5,3,7); (5,3,3); n,3,3 если n=3 то пункт б выполненю пункт a невозможен так как в конце только нечетные числы а н+н1=н