Математикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$p$ -ның қандай мәндерінде

$p\times p$ квадрат тақтасын бір-бірімен қиылыспайтындай етіп келесі түрдегі фигурамен толықтай жауып шығуға болады?

Есеп №2. Тақтада үш бүтін сан жазылған. Әр қадамда олардың біреуі сүртіледі де, оның орнына қалған екеуінің қосындысынан 1-ге кем сан жазылады. Осындай біреше қадамнан кейін тақтада қалған сандар 17, 75, 91 сандары. Басында тақтада сына сандар жазылуы мүмкін бе?
а) 2, 2, 2?
б) 3, 3, 3?
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

$\omega$ шеңбері

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбермен

$C$ нүктесінде, ал

$AB$ кесіндісімен

$K$ нүктесінде жанасады.

$CK$ —

$C$ бұрышының биссектрисасы екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(5)

Есеп №4. Келесі теңдікті дәлелдеңіз:

$\dfrac{\left( {{1}^{4}}+\dfrac{1}{4} \right)\left( {{3}^{4}}+\dfrac{1}{4} \right)\left( {{5}^{4}}+\dfrac{1}{4} \right)\ldots \left( {{11}^{4}}+\dfrac{1}{4} \right)}{\left( {{2}^{4}}+\dfrac{1}{4} \right)\left( {{4}^{4}}+\dfrac{1}{4} \right)\left( {{6}^{4}}+\dfrac{1}{4} \right)\ldots \left( {{12}^{4}}+\dfrac{1}{4} \right)}=\dfrac{1}{313}.$
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Келесі теңдеуді бүтін сандар жиынында шешіңіздер:

${{\left( x+1 \right)}^{4}}-{{\left( x-1 \right)}^{4}}={{y}^{3}}$ .
комментарий/решение(2)

Есеп №6.

$1999\times 1999$ өлшемді тақтаның бірнеше

$1\times 1$ квадраттары, кез-келген баған мен кез-келген қатарда дәл бір боялған шаршы болатындай етіп боялған. Осы тақтадағы кез-келген

$1000\times 1000$ квадратында ең болмағанда бір боялған шаршы табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Қосындысы 1-ге тең теріс емес нақты

$a,b$ және

$c$ сандары үшін

$\dfrac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\dfrac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\dfrac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}\ge \dfrac{1}{2}$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №8.

$ABC$ теңбүйірлі үшбұрышында

$AB=BC$ және

$\angle ABC=120{}^\circ +\alpha$ .

$AB$ қабырғасына сырттай

$ADB$ теңбүйірлі (

$AD=DB$ ) үшбұрышы салынған және

$\angle ADB=\alpha$ .

$DCB$ бұрышын табыңыз.
комментарий/решение(1)