Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2018 год

Задача №1. Пусть

$H$ является точкой пересечения высот треугольника

$ABC$ ,

$M$ и

$N$ являются серединами сторон

$AB$ и

$AC$ соответственно. Пусть точка

$H$ лежит внутри четырехугольника

$BMNC$ , а описанные окружности треугольников

$BMH$ и

$CNH$ касаются друг друга. Прямая, проходящая через точку

$H$ и параллельная прямой

$BC$ , пересекает описанные окружности треугольников

$BMH$ и

$CNH$ в точках

$K$ и

$L$ соответственно. Пусть

$F$ является точкой пересечения прямых

$MK$ и

$NL$ , а

$J$ является центром вписанной окружности треугольника

$MHN$ . Докажите, что

$FJ = FA$ . ( Mahdi Etesamifard )
комментарий/решение(4)

Задача №2. Функции

$f(x)$ и

$g(x)$ заданы следующим образом:

$f(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x-2} + \dfrac{1}{x-4} + \cdots + \dfrac{1}{x-2018}$ и

$g(x) = \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x-3} + \dfrac{1}{x-5} + \cdots + \dfrac{1}{x-2017}.$ Докажите, что неравенство

$|f(x) - g(x)| > 2$ выполняется для всех нецелых действительных

$x$ , удовлетворяющих условию

$0 < x < 2018$ . ( Australia )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Набор из

$n$ квадратов на плоскости, называется трисвязным, если выполняются одновременно три условия:
(i) Все квадраты равны между собой.
(ii) Если два квадрата имеют общую точку

$P$ , тогда

$P$ является вершиной каждого из них.
(iii) Каждый квадрат касается в точности трех других квадратов.
Сколько существует различных натуральных чисел

$n$ из промежутка

$2018 \le n \le 3018$ , для которых найдется набор из

$n$ квадратов, являющийся трисвязным? ( Australia )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть дан равносторонний треугольник

$ABC$ . Из вершины

$A$ выходит луч, который достигнув каждой из сторон отражается по обычному закону отражения: угол падения равен углу отражения. После

$n$ отражений луч возвращается в вершину

$A$ без попадания в другие вершины треугольника. Найдите всевозможные значения числа

$n$ . ( Daniel Perales, Jorge Garza )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите все такие многочлены

$P(x)$ с целыми коэффициентами, что при любых действительных

$s$ и

$t$ , если значения

$P(s)$ и

$P(t)$ оба являются целыми, то

$P(st)$ также является целым. ( Ting-Wei Chao )
комментарий/решение(1)

результаты