Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2018 жыл

Есеп №1.

$H$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі, ал

$M$ және

$N$ сәйкесінше

$AB$ және

$AC$ қабырғаларының орталары болсын.

$H$ нүктесі

$BMNC$ төртбұрышының ішінде жатсын, ал

$BMH$ және

$CNH$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлері бірін бірі жанайды.

$H$ арқылы өтетін және

$BC$ -ға параллель түзу

$BMH$ және

$CNH$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерді сәйкесінше

$K$ және

$L$ нүктелерінде қияды.

$MK$ және

$NL$ түзулері

$F$ нүктесінде қиылысады, ал

$J$ нүктесі

$MHN$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі.

$FJ = FA$ теңдігін дәлелдеңіз. ( Mahdi Etesamifard )
комментарий/решение(4)

Есеп №2.

$f(x)$ және

$g(x)$ функциялары келесідей берілген:

$f(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x-2} + \dfrac{1}{x-4} + \cdots + \dfrac{1}{x-2018}$ және

$g(x) = \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x-3} + \dfrac{1}{x-5} + \cdots + \dfrac{1}{x-2017}.$ Барлық бүтін емес

$0 < x < 2018$ шартын қанағаттандыратын

$x$ саны үшін

$|f(x) - g(x)| > 2$ теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Australia )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Жазықтықтағы

$n$ шаршыдан тұратын жиынтық үшбайланысты деп аталады, егер бір уақытта келесі үш шарт орындалса:
(i) Барлық шаршылар өзара тең.
(ii) Егер

$P$ нүктесі екі шаршыға ортақ болса, онда ол сол екі шаршының да төбесі болады.
(iii) Әр шаршы басқа дәл үш шаршыны жанайды.

$n$ шаршыдан тұратын үшбайланысты жиынтық табылатындай

$2018 \le n \le 3018$ аралығында қанша натурал

$n$ саны бар? ( Australia )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Теңқабырғалы

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$A$ төбесінен шыққан сәуле әр қабырғаға жетіп, кәдімгі шағылу заңы бойынша шағылады: түсу бұрышы шағылу бұрышына тең. Сәуле

$n$ рет шағылғаннан кейін

$A$ төбесіне (басқа төбелер арқылы өтпей) қайтып келді.

$n$ -нің барлық мүмкін мәндерін табыңыз. ( Daniel Perales, Jorge Garza )
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Келесі шартты қанағаттандыратын, коэффициенттері бүтін болатын барлық

$P(x)$ көпмүшеліктерін табыңыз: егер кез келген нақты

$s$ және

$t$ сандары үшін

$P(s)$ және

$P(t)$ мәндерінің екеуі де бүтін болса, онда

$P(st)$ мәні де бүтін болады. ( Ting-Wei Chao )
комментарий/решение(1)

результаты