қазақша
русскийАзия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2018 жыл
Есеп №1. $H$ нүктесі $ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі, ал $M$ және $N$ сәйкесінше $AB$ және $AC$ қабырғаларының орталары болсын. $H$ нүктесі $BMNC$ төртбұрышының ішінде жатсын, ал $BMH$ және $CNH$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлері бірін бірі жанайды. $H$ арқылы өтетін және $BC$-ға параллель түзу $BMH$ және $CNH$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерді сәйкесінше $K$ және $L$ нүктелерінде қияды. $MK$ және $NL$ түзулері $F$ нүктесінде қиылысады, ал $J$ нүктесі $MHN$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі. $FJ = FA$ теңдігін дәлелдеңіз.
(
Mahdi Etesamifard
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №2. $f(x)$ және $g(x)$ функциялары келесідей берілген:
$f(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x-2} + \dfrac{1}{x-4} + \cdots + \dfrac{1}{x-2018}$
және
$g(x) = \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x-3} + \dfrac{1}{x-5} + \cdots + \dfrac{1}{x-2017}.$
Барлық бүтін емес $0 < x < 2018$ шартын қанағаттандыратын $x$ саны үшін
$|f(x) - g(x)| > 2$
теңсіздігін дәлелдеңіз.
(
Australia
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Жазықтықтағы $n$ шаршыдан тұратын жиынтық үшбайланысты деп аталады, егер бір уақытта келесі үш шарт орындалса:
(i) Барлық шаршылар өзара тең.
(ii) Егер $P$ нүктесі екі шаршыға ортақ болса, онда ол сол екі шаршының да төбесі болады.
(iii) Әр шаршы басқа дәл үш шаршыны жанайды.
$n$ шаршыдан тұратын үшбайланысты жиынтық табылатындай $2018 \le n \le 3018$ аралығында қанша натурал $n$ саны бар? ( Australia )
комментарий/решение(1)
(i) Барлық шаршылар өзара тең.
(ii) Егер $P$ нүктесі екі шаршыға ортақ болса, онда ол сол екі шаршының да төбесі болады.
(iii) Әр шаршы басқа дәл үш шаршыны жанайды.
$n$ шаршыдан тұратын үшбайланысты жиынтық табылатындай $2018 \le n \le 3018$ аралығында қанша натурал $n$ саны бар? ( Australia )
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Теңқабырғалы $ABC$ үшбұрышы берілген. $A$ төбесінен шыққан сәуле әр қабырғаға жетіп, кәдімгі шағылу заңы бойынша шағылады: түсу бұрышы шағылу бұрышына тең. Сәуле $n$ рет шағылғаннан кейін $A$ төбесіне (басқа төбелер арқылы өтпей) қайтып келді. $n$-нің барлық мүмкін мәндерін табыңыз.
(
Daniel Perales,
Jorge Garza
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Келесі шартты қанағаттандыратын, коэффициенттері бүтін болатын барлық $P(x)$ көпмүшеліктерін табыңыз:
егер кез келген нақты $s$ және $t$ сандары үшін $P(s)$ және $P(t)$ мәндерінің екеуі де бүтін болса, онда $P(st)$ мәні де бүтін болады.
(
Ting-Wei Chao
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)