Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2018 жыл
Есеп №1. H нүктесі ABC үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі, ал M және N сәйкесінше AB және AC қабырғаларының орталары болсын. H нүктесі BMNC төртбұрышының ішінде жатсын, ал BMH және CNH үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлері бірін бірі жанайды. H арқылы өтетін және BC-ға параллель түзу BMH және CNH үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерді сәйкесінше K және L нүктелерінде қияды. MK және NL түзулері F нүктесінде қиылысады, ал J нүктесі MHN үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі. FJ=FA теңдігін дәлелдеңіз.
(
Mahdi Etesamifard
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №2. f(x) және g(x) функциялары келесідей берілген:
f(x)=1x+1x−2+1x−4+⋯+1x−2018
және
g(x)=1x−1+1x−3+1x−5+⋯+1x−2017.
Барлық бүтін емес 0<x<2018 шартын қанағаттандыратын x саны үшін
|f(x)−g(x)|>2
теңсіздігін дәлелдеңіз.
(
Australia
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Жазықтықтағы n шаршыдан тұратын жиынтық үшбайланысты деп аталады, егер бір уақытта келесі үш шарт орындалса:
(i) Барлық шаршылар өзара тең.
(ii) Егер P нүктесі екі шаршыға ортақ болса, онда ол сол екі шаршының да төбесі болады.
(iii) Әр шаршы басқа дәл үш шаршыны жанайды.
n шаршыдан тұратын үшбайланысты жиынтық табылатындай 2018≤n≤3018 аралығында қанша натурал n саны бар? ( Australia )
комментарий/решение(1)
(i) Барлық шаршылар өзара тең.
(ii) Егер P нүктесі екі шаршыға ортақ болса, онда ол сол екі шаршының да төбесі болады.
(iii) Әр шаршы басқа дәл үш шаршыны жанайды.
n шаршыдан тұратын үшбайланысты жиынтық табылатындай 2018≤n≤3018 аралығында қанша натурал n саны бар? ( Australia )
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Теңқабырғалы ABC үшбұрышы берілген. A төбесінен шыққан сәуле әр қабырғаға жетіп, кәдімгі шағылу заңы бойынша шағылады: түсу бұрышы шағылу бұрышына тең. Сәуле n рет шағылғаннан кейін A төбесіне (басқа төбелер арқылы өтпей) қайтып келді. n-нің барлық мүмкін мәндерін табыңыз.
(
Daniel Perales,
Jorge Garza
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Келесі шартты қанағаттандыратын, коэффициенттері бүтін болатын барлық P(x) көпмүшеліктерін табыңыз:
егер кез келген нақты s және t сандары үшін P(s) және P(t) мәндерінің екеуі де бүтін болса, онда P(st) мәні де бүтін болады.
(
Ting-Wei Chao
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)