Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2018 жыл


Есеп №1.  H нүктесі ABC үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі, ал M және N сәйкесінше AB және AC қабырғаларының орталары болсын. H нүктесі BMNC төртбұрышының ішінде жатсын, ал BMH және CNH үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлері бірін бірі жанайды. H арқылы өтетін және BC-ға параллель түзу BMH және CNH үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерді сәйкесінше K және L нүктелерінде қияды. MK және NL түзулері F нүктесінде қиылысады, ал J нүктесі MHN үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі. FJ=FA теңдігін дәлелдеңіз. ( Mahdi Etesamifard )
комментарий/решение(4)
Есеп №2.  f(x) және g(x) функциялары келесідей берілген: f(x)=1x+1x2+1x4++1x2018 және g(x)=1x1+1x3+1x5++1x2017. Барлық бүтін емес 0<x<2018 шартын қанағаттандыратын x саны үшін |f(x)g(x)|>2 теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Australia )
комментарий/решение(1)
Есеп №3.  Жазықтықтағы n шаршыдан тұратын жиынтық үшбайланысты деп аталады, егер бір уақытта келесі үш шарт орындалса:
(i) Барлық шаршылар өзара тең.
(ii) Егер P нүктесі екі шаршыға ортақ болса, онда ол сол екі шаршының да төбесі болады.
(iii) Әр шаршы басқа дәл үш шаршыны жанайды.
n шаршыдан тұратын үшбайланысты жиынтық табылатындай 2018n3018 аралығында қанша натурал n саны бар? ( Australia )
комментарий/решение(1)
Есеп №4.  Теңқабырғалы ABC үшбұрышы берілген. A төбесінен шыққан сәуле әр қабырғаға жетіп, кәдімгі шағылу заңы бойынша шағылады: түсу бұрышы шағылу бұрышына тең. Сәуле n рет шағылғаннан кейін A төбесіне (басқа төбелер арқылы өтпей) қайтып келді. n-нің барлық мүмкін мәндерін табыңыз. ( Daniel Perales, Jorge Garza )
комментарий/решение(1)
Есеп №5.  Келесі шартты қанағаттандыратын, коэффициенттері бүтін болатын барлық P(x) көпмүшеліктерін табыңыз: егер кез келген нақты s және t сандары үшін P(s) және P(t) мәндерінің екеуі де бүтін болса, онда P(st) мәні де бүтін болады. ( Ting-Wei Chao )
комментарий/решение(1)
результаты