Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2018 год
Комментарий/решение:
$$\triangleright \angle HKM =\angle HBM = \angle MHF=\alpha , \quad \angle NCH =\angle HLN =\angle FHN =\beta$$
$$ MN \parallel BC \parallel KL \Rightarrow \begin{cases} \angle MKH = \angle FMN=\alpha \\ \angle HLN = \angle MNF =\beta \end{cases}$$
$$ \angle MFN + \angle MHN = \pi \Rightarrow M,H,N,F \in \Omega_3$$
$$ \Omega_3: \angle FHN =\angle NMF \Rightarrow \alpha=\beta$$
$$ \Rightarrow FH \bot MN \Rightarrow \angle FMH =\angle FNH =90^o$$
$$ \angle MHF =\angle AMF =\alpha \qquad \angle NHF =\angle ANF =\alpha\Rightarrow$$
$$ A,N,M \in \Omega_4 : \quad AF=FN=FM =R_4\square $$
Так как H ортоцентр,$\angle ABH=\angle ACH=a$.$\angle BHC=90+a$.$\angle CBH=\angle BHK=\angle BMK=\angle AMF=b$.$\angle BCH=\angle LHC=\angle LNC=\angle ANF=c$.$90+a+b+c=90$.$a+b+c=180$.Заметим что $\angle FMN=\angle FNM=a$.$FM=FN$.Если проведём общую касательную то она будет биссектрисой угла $\angle MHN$ так как $\angle MBH=\angle NCH$.Значит $HJ$ и есть общая касательная и $\angle MHN=2a$.$\angle MJN=90+a$ так как $J$ инцентр $MHN$.$\angle MAN=b+c$ значит $MANJ$ вписанный четырёхугольник.$FM=FN$ и $\angle MFN=2\angle MAN$.Поэтому $F$ центр $(MAN)$ и $FA=FM=FN=FJ$.
Вашем решение вы не объяснили все подробно многие ди могут не понять этого так что прошу все подробно писать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.