Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2018 жыл


H нүктесі ABC үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі, ал M және N сәйкесінше AB және AC қабырғаларының орталары болсын. H нүктесі BMNC төртбұрышының ішінде жатсын, ал BMH және CNH үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлері бірін бірі жанайды. H арқылы өтетін және BC-ға параллель түзу BMH және CNH үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерді сәйкесінше K және L нүктелерінде қияды. MK және NL түзулері F нүктесінде қиылысады, ал J нүктесі MHN үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі. FJ=FA теңдігін дәлелдеңіз. ( Mahdi Etesamifard )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
6 года 8 месяца назад #

HKM=HBM=MHF=α,NCH=HLN=FHN=β

MNBCKL{MKH=FMN=αHLN=MNF=β

MFN+MHN=πM,H,N,FΩ3

Ω3:FHN=NMFα=β

FHMNFMH=FNH=90o

MHF=AMF=αNHF=ANF=α

A,N,MΩ4:AF=FN=FM=R4

  5
1 года 5 месяца назад #

Так как H ортоцентр,ABH=ACH=a.BHC=90+a.CBH=BHK=BMK=AMF=b.BCH=LHC=LNC=ANF=c.90+a+b+c=90.a+b+c=180.Заметим что FMN=FNM=a.FM=FN.Если проведём общую касательную то она будет биссектрисой угла MHN так как MBH=NCH.Значит HJ и есть общая касательная и MHN=2a.MJN=90+a так как J инцентр MHN.MAN=b+c значит MANJ вписанный четырёхугольник.FM=FN и MFN=2MAN.Поэтому F центр (MAN) и FA=FM=FN=FJ.

  0
1 года 5 месяца назад #

Вашем решение вы не объяснили все подробно многие ди могут не понять этого так что прошу все подробно писать.

  0
1 года 5 месяца назад #

Вы просто переписали решение выше,с одной и той же идеей