Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2018 жыл
H нүктесі ABC үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі, ал M және N сәйкесінше AB және AC қабырғаларының орталары болсын. H нүктесі BMNC төртбұрышының ішінде жатсын, ал BMH және CNH үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлері бірін бірі жанайды. H арқылы өтетін және BC-ға параллель түзу BMH және CNH үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерді сәйкесінше K және L нүктелерінде қияды. MK және NL түзулері F нүктесінде қиылысады, ал J нүктесі MHN үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі. FJ=FA теңдігін дәлелдеңіз.
(
Mahdi Etesamifard
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
▹∠HKM=∠HBM=∠MHF=α,∠NCH=∠HLN=∠FHN=β
MN∥BC∥KL⇒{∠MKH=∠FMN=α∠HLN=∠MNF=β
∠MFN+∠MHN=π⇒M,H,N,F∈Ω3
Ω3:∠FHN=∠NMF⇒α=β
⇒FH⊥MN⇒∠FMH=∠FNH=90o
∠MHF=∠AMF=α∠NHF=∠ANF=α⇒
A,N,M∈Ω4:AF=FN=FM=R4◻
Так как H ортоцентр,∠ABH=∠ACH=a.∠BHC=90+a.∠CBH=∠BHK=∠BMK=∠AMF=b.∠BCH=∠LHC=∠LNC=∠ANF=c.90+a+b+c=90.a+b+c=180.Заметим что ∠FMN=∠FNM=a.FM=FN.Если проведём общую касательную то она будет биссектрисой угла ∠MHN так как ∠MBH=∠NCH.Значит HJ и есть общая касательная и ∠MHN=2a.∠MJN=90+a так как J инцентр MHN.∠MAN=b+c значит MANJ вписанный четырёхугольник.FM=FN и ∠MFN=2∠MAN.Поэтому F центр (MAN) и FA=FM=FN=FJ.
Вашем решение вы не объяснили все подробно многие ди могут не понять этого так что прошу все подробно писать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.