Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2017-2018 учебный год, I тур заключительного этапа

Задача №1.  Петя загадал натуральное число $N$, Вася хочет его отгадать. Петя сообщает Васе сумму цифр числа $N+1$, затем сумму цифр числа $N+2$ и т. д. Верно ли, что рано или поздно умный Вася сможет с гарантией установить Петино число? ( М. Дидин )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Найдите наименьшее натуральное $k$ такое, что для некоторого натурального числа $a$, большего $500 \,000,$ и некоторого натурального числа $b$ выполнено равенство $\frac{1}{a}+\frac{1}{a+k}=\frac{1}{b}.$ ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равны и пересекаются в точке $K$. Внутри треугольников $AKD$ и $BKC$ выбрали точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $\angle KAP = \angle KDP = \angle KBQ = \angle KCQ.$ Докажите, что прямая $PQ$ параллельна биссектрисе угла $AKD$. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  В вершинах правильного 300-угольника расставлены числа от 1 до 300 по одному разу в некотором порядке. Оказалось, что для каждого числа $a$ среди ближайших к нему 15 чисел по часовой стрелке столько же меньших $a$, сколько и среди 15 ближайших к нему чисел против часовой стрелки. Число, которое больше всех 30 ближайших к нему чисел назовём огромным. Каково наименьшее возможное количество огромных чисел? ( C. Берлов )
комментарий/решение(1)

---