қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера
2017-2018 учебный год, I тур заключительного этапа
Есеп №1. Петя натурал $N$ санын ойлады. Ал Вася сол санды тапқысы келеді. Петя Васяға $N+1$ санының цифрлар қосындысын айтты, сосын $N+2$ санының цифрлар қосындысын айтты және осылай жалғастыра берді. Ерте ме, кеш пе ақылды Вася Петяның ойлаған санын кепілді түрде табатыны ақиқат па?
(
М. Дидин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $500 \, 000$ санынан үлкен натурал $a$ саны және натурал $b$ саны үшін $\frac{1}{a}+\frac{1}{a+k}=\frac{1}{b}$ теңдігі орындалатындай, ең кіші натурал $k$ санын табыңыз.
(
И. Богданов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Дөңес $ABCD$ төртбұрышының диагоналдары тең және $K$ нүктесінде қиылысады. $AKD$ және $BKC$ үшбұрыштары ішінен $\angle KAP=\angle KDP=\angle KBQ=\angle KCQ$ болатындай сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелері белгіленген. $PQ$ түзуі $AKD$ бұрышының биссектрисасына параллель екенін дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Қандай да бір ретпен, дұрыс 300-бұрыш төбелеріне бір-бірден $1$-ден $300$-ге дейінгі сандарды орналастырған. Әрбір $a$ саны үшін, $a$ санына сағат тілі бойынша орналасқан ең жақын 15 сан арасында, $a$ санынан кіші сандар саны, сағат тіліне қарсы орналасқан $a$ санына ең жақын 15 сан арасындағы кіші сандар санына тең болып шыққан. Егер қандай да бір сан, сол санға жақын орналасқан 30 сандардың барлығынан үлкен болса, ондай санды үлкен сан деп атайық. Үлкен сандардың мүмкін болатын ең кіші саны қанша?
(
C. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)