Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 8 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найти все натуральные числа

$m$ и

$n$ , которые удовлетворяют уравнению

$1!+2!+\ldots +n!={{m}^{2}}.$
комментарий/решение(2)

Задача №2. Имеется 11 шаров – 5 красных и 6 белых. Известно, что один красный шар и один белый шар радиоактивны. Про любую группу шаров за одну проверку детектором можно узнать, есть ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Как с помощью не более чем 6 проверок выявить оба радиоактивных шара?
комментарий/решение(2)

Задача №3. В прямоугольном треугольнике

$ABC$ на гипотенузе

$AB$ выбрана точка

$E$ так, что

$AC=CE$ . Биссектрисы

$CL$ и

$EK$ треугольника

$BCE$ пересекаются в точке

$I$ . Известно, что треугольник

$IKC$ равнобедренный. Найдите

$CL:AB.$
комментарий/решение(4)

Задача №4. Найдите квадратный трёхчлен

$P(x)=a{{x}^{2}}+bx+c,$ если

$\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)P(x)+9x+10=2{{x}^{4}}+9{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}.$
комментарий/решение(2)

Задача №5. Дан треугольник

$ABC$ . На стороне

$AB$ выбрана точка

$K$ , а на отрезке

$CK$ – точка

$L$ так, что

$AK=KL=\frac{1}{2}KB.$ Известно, что

$\angle CAB=45{}^\circ ,$

$\angle CKB=60{}^\circ .$ Доказать, что

$AL=BL=CL.$
комментарий/решение(4)

Задача №6. Сколькими способами можно представить число 2017 в виде суммы нескольких слагаемых, расположенных в неубывающем порядке, причём разность между последним и первым слагаемыми не должна превышать 1.
комментарий/решение