Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 8 класс
Найти все натуральные числа $m$ и $n$, которые удовлетворяют уравнению $1!+2!+\ldots +n!={{m}^{2}}.$
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть $S_n=1!+\ldots+n!$.
$S_1=1 \Rightarrow m=1$
$S_2= 3\Rightarrow m \not \in \mathbb{N}$
$S_3=9 \Rightarrow m=3$
$S_4= 33\Rightarrow m \not \in \mathbb{N}$
Если $n \geqslant 5$, то $n!$ оканчивается на $0$, значит $S_n$ оканчивается на $3$, но квадрат числа не оканчивается на $3$, тогда решений нет.
Ответ: $n=1,\,m=1;\,n=3,\,m=3;$.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.