Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 8 класс

Найти все натуральные числа $m$ и $n$, которые удовлетворяют уравнению $1!+2!+\ldots +n!={{m}^{2}}.$

Комментарий/решение

Пусть $S_n=1!+\ldots+n!$.

$S_1=1 \Rightarrow m=1$

$S_2= 3\Rightarrow m \not \in \mathbb{N}$

$S_3=9 \Rightarrow m=3$

$S_4= 33\Rightarrow m \not \in \mathbb{N}$

Если $n \geqslant 5$, то $n!$ оканчивается на $0$, значит $S_n$ оканчивается на $3$, но квадрат числа не оканчивается на $3$, тогда решений нет.

Ответ: $n=1,\,m=1;\,n=3,\,m=3;$.