Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 8 класс

Найдите квадратный трёхчлен $P(x)=a{{x}^{2}}+bx+c,$ если $\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)P(x)+9x+10=2{{x}^{4}}+9{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}.$

Комментарий/решение

$P(x)=\frac{2x^4+9x^3+8x^2-9x-10}{x^2+3x+2}=\frac{(2x^2+9x+10)(x^2-1)}{x^2+3x+2}=\frac{(x+2)(2x+5)(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)}=(2x+5)(x-1)=2x^2+3x-5$, если $x\neq -2$ и $x\neq -1.$

$\forall P(x)=ax^2+bx+c$ , если $x=-1$ или $x=-2.$

$$(x^2+3x+2)(ax^2+bx+c)+9x+10=2x^4+9x^3+8x^2 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow ax^4+x^3(3a+b)+x^2(c+3b+2a)+x(3c+2b+9)+10+2c=2x^4+9x^3+8x^2$$

$$x^4: a=2$$

$$x^0: 10+2c=0 \Rightarrow c=-5$$

$$x: 3c+2b+9=0 \Rightarrow b=\frac{-9-3c}{2}=3$$

$$P(x)=2x^2+3x-5$$