Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 8 класс

В прямоугольном треугольнике $ABC$ на гипотенузе $AB$ выбрана точка $E$ так, что $AC=CE$. Биссектрисы $CL$ и $EK$ треугольника $BCE$ пересекаются в точке $I$. Известно, что треугольник $IKC$ равнобедренный. Найдите $CL:AB.$

Комментарий/решение

Обозначим $\angle CAB=a$ ,тогда из условия следует что $\angle AEC=a$.

Выразим углы $\angle CIM , \angle CKI$ через $a$ , $\angle ACE=180^{\circ}-2a$ , так как

$\angle ACB=90^{\circ}$ , то $\angle BCE=90-\angle ACE=90^{\circ}-(180^{\circ}-2a)=2a-90^{\circ}$ так как $CL$ биссектриса, то $\angle KCI=\frac{\angle BCE}{2}=a-45^{\circ}$ аналогично $\angle CEL=\frac{\angle CEB}{2}=\frac{180^{\circ}-\angle CEA}{2}=90^{\circ}-\frac{a}{2}$ значит $\angle CIK=\angle ECI+\angle CEI=45^{\circ}+\frac{a}{2}$ откуда $\angle CKI=180^{\circ}-\frac{3a}{2}$.

То есть углы в $\Delta IKC$ равны $\angle I=\frac{a}{2}+45^{\circ} , \ \ \angle C=a-45^{\circ} , \ \ \angle K=180^{\circ}-\frac{3a}{2}$

По условию $\Delta IKC$ равнобедренный, значит надо проверить три условия равенства углов $1) \angle I=\angle C$ , $2) \angle C=\angle K$ , $3) \angle I=\angle K$ подходит только при $\angle I=\angle K$ (решая уравнения) , откуда $a=\angle AEC =\frac{135^{\circ}}{2}$ , так как $AC=CE$ то $\angle BAC = \angle CEA = \angle a$ тогда $\angle ACL = \angle ACE + \angle ECL = 180-2a+\frac{90-180+2a}{2}=135-a = 135 - \frac{135}{2}= \frac{135}{2}$ то есть получаем что $AL=CL$ значит $L$ середина гипотенузы $AB$ откуда $\frac{CL}{AB}=\frac{CL}{2CL}=\dfrac{1}{2}$.

Решение выходит за рамки знания 8 классника

@koshaman,

Нет. Просто счет углов, равнобедренные треугольники. Где именно выходит за рамки?