Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 8 класс

Дан треугольник $ABC$. На стороне $AB$ выбрана точка $K$, а на отрезке $CK$ – точка $L$ так, что $AK=KL=\frac{1}{2}KB.$ Известно, что $\angle CAB=45{}^\circ ,$ $\angle CKB=60{}^\circ .$ Доказать, что $AL=BL=CL.$

Комментарий/решение

Берілген шарты бойынша негізі $$AK=KL=\frac{1}{2}KB$$

Рахмет, қатесін түзеттік.

Пусть $M$ - середина отрезка $BK$. Выходит что $AK=KL=KM$, поэтому $\angle ALM = 90^\circ$, так как $\angle CKB = 60^\circ$ и $KM=KL$ , то $\angle AML = \angle KLM = 60^\circ$ и $\angle BAL = 30^\circ$. По свойству треугольника с углами $30^\circ,60^\circ,90^\circ AL=ML\sqrt{3}$

Теперь рассмотрим $\triangle KLB$. Так как $KM=MB=ML$ то он также является прямоугольным. Аналогично выходит что $BL=KL\sqrt{3}$.

На очереди $\triangle ALC$. Так как $\angle LAC = 45^\circ -\angle LAM = 15^\circ$ и $\angle ALK = 30^\circ = \angle LAC + \angle LCA$ выходит что $\angle LCA = 15^\circ$ и $AL = CL$

Решение: Сначала докажем равенство $AL$ и $CL$. Мы узнаем то что, $\angle CKA=120°$, потому что, $\angle CKB=60°$. Теперь проводим $AL$ , и так как $AK=KL$ и $\angle CAB=45°,\angle KCA=15°$, мы узнаем то что, $\angle KAL=\angle KLA=30°$. А значит, то что $\angle LAC=\angle LCA=15°$, а значит $AL=BL$

Теперь докажем это : $AL=BL$

Так как $BK=2KL$ и $\angle CKB=60°$, тогда $\triangle KLB$ прямоуголный треугольник. И тогда $\angle LBA=\angle LAB=30°$, а это значит: $AL=BL\Rightarrow AL=BL=CL$