1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, вторая лига

Есеп №1. Дан прямоугольный треугольник с углами

$\angle A=90^\circ$ и

$\angle C=30^\circ$ . Обозначим через

$\Gamma$ окружность, проходящую через точку

$A$ и касающуюся отрезка

$BC$ в его середине. Пусть

$\Gamma$ пересекает отрезок

$AC$ в точке

$N$ , а описанную окружность

$\triangle ABC$ во второй раз точке

$M$ . Докажите, что

$MN \perp BC$ .
комментарий/решение(3)

Есеп №2. четырехугольнике

$ABCD \$

$\angle B=\angle D = 60^\circ$ . Пусть точка

$M$ — середина стороны

$AD$ , а точка

$P$ взята на прямой

$BC$ так, что

$PM \parallel CD$ . Рассмотрим точку

$X$ , лежащую на прямой

$CD$ , такую, что

$BX=CX$ . Докажите, что

$AB=BP$ тогда и только тогда, когда

$\angle MXB=60^\circ$ .
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Дан остроугольный треугольник

$ABC$ . Окружность

$\Gamma$ , с диаметром

$BC$ , пересекает стороны

$AB$ и

$AC$ в точках

$E$ и

$F$ соответственно. Пусть

$M$ — середина стороны

$BC$ и

$P$ — точка пересечения прямых

$AM$ и

$EF$ . Пусть

$XY$ — хорда окружности

$\Gamma$ (точка

$X$ лежит на дуге

$EF$ ), проходящая через точку

$P$ . Докажите равенство

$\angle XAY = \angle XYM$ .
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Касательная прямая в точке

$A$ к описанной окружности

$\Gamma$ остроугольного треугольника

$ABC$ (

$AC>AB$ ) пересекает прямую

$BC$ в точке

$P$ . Пусть

$O$ — центр

$\Gamma$ .

$X$ — точка прямой

$OP$ такая, что

$\angle AXP = 90^\circ$ . На прямых

$AB$ и

$AC$ выбраны точки

$E$ и

$F$ соответственно так, что они лежат по одну сторону от прямой

$OP$ и

$\angle EXP = \angle ACX, \quad \angle FXO = \angle ABX.$ Обозначим через

$K$ и

$L$ точки пересечения прямой

$EF$ с окружностью~

$\Gamma$ . Докажите, что прямая

$OP$ касается описанной окружности

$\triangle KLX$ .
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Точки

$P$ и

$Q$ выбраны на стороне

$BC$ треугольника

$ABC$ так, что расстояния от этих точек до середины

$BC$ равны. Перпендикуляры к

$BC$ , восстановленные в точках

$P$ и

$Q$ , пересекают прямые

$AC$ и

$AB$ в точках

$E$ и

$F$ соответственно. Прямые

$PF$ и

$EQ$ пересекаются в точке

$M$ . Пусть

$H_1$ и

$H_2$ являются точками пересечения высот треугольников

$BFP$ и

$CEQ$ соответственно. Докажите, что

$AM \perp H_1H_2$ .
комментарий/решение(1)