Processing math: 100%

1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, вторая лига


Дан остроугольный треугольник ABC. Окружность Γ, с диаметром BC, пересекает стороны AB и AC в точках E и F соответственно. Пусть M — середина стороны BC и P — точка пересечения прямых AM и EF. Пусть XY — хорда окружности Γ (точка X лежит на дуге EF), проходящая через точку P. Докажите равенство XAY=XYM.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   5
3 года 6 месяца назад #

Пусть имеется произвольный четырехугольник CFEB вписанный в ω, пусть ACFBE проведем касательные AG,AD из точки A к ω и HCEBF

Лемма: H лежит на GD

Доказательство: по теореме Чевы в угловой форме для EGB и затем выразив через отрезки шестиугольника CGFEDB получается

FEDECGGFBDBC=1

преобразовав учитывая что AG,AD касательные

FEBCBDDECGGF=1

AFABABADACAG=1

откуда AFAC=AD2 верно

Решение: Пусть N середина GD так как CED=90 по лемме HNA=AEH=90 то есть AEHNF вписанный , тогда MAN так как FPPE=YPXP=APPN то есть AYXN вписанный, и учитывая что MX2=MNMA и общий угол AME треугольники MEN,MAE подобны, откуда MXN=MAX и PXN=YAP откуда XAY=YXM=XYM .