1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, вторая лига

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Окружность $\Gamma$, с диаметром $BC$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Пусть $M$ — середина стороны $BC$ и $P$ — точка пересечения прямых $AM$ и $EF$. Пусть $XY$ — хорда окружности $\Gamma$ (точка $X$ лежит на дуге $EF$), проходящая через точку $P$. Докажите равенство $\angle XAY = \angle XYM$.

Комментарий/решение

Пусть имеется произвольный четырехугольник $CFEB$ вписанный в $\omega$, пусть $A \in CF \cap BE$ проведем касательные $AG,AD$ из точки $A$ к $\omega$ и $H \in CE \cap BF$

Лемма: $H$ лежит на $GD$

Доказательство: по теореме Чевы в угловой форме для $EGB$ и затем выразив через отрезки шестиугольника $CGFEDB$ получается

$$\dfrac{FE}{DE} \cdot \dfrac{CG}{GF} \cdot \dfrac{BD}{BC} = 1$$

преобразовав учитывая что $AG,AD$ касательные

$$\dfrac{FE}{BC} \cdot \dfrac{BD}{DE} \cdot \dfrac{CG}{GF}=1$$

$$\dfrac{AF}{AB} \cdot \dfrac{AB}{AD} \cdot \dfrac{AC}{AG}=1$$

откуда $$AF \cdot AC =AD^2$$ верно

Решение: Пусть $N$ середина $GD$ так как $\angle CED = 90^{\circ}$ по лемме $\angle HNA = \angle AEH = 90^{\circ}$ то есть $AEHNF$ вписанный , тогда $M \in AN$ так как $FP \cdot PE = YP \cdot XP = AP \cdot PN$ то есть $AYXN$ вписанный, и учитывая что $MX^2 = MN \cdot MA$ и общий угол $\angle AME$ треугольники $MEN, MAE$ подобны, откуда $\angle MXN = \angle MAX$ и $\angle PXN = \angle YAP$ откуда $\angle XAY = \angle YXM = \angle XYM$ .