1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, вторая лига
Дан остроугольный треугольник ABC. Окружность Γ, с диаметром BC, пересекает стороны AB и AC в точках E и F соответственно. Пусть M — середина стороны BC и P — точка пересечения прямых AM и EF. Пусть XY — хорда окружности Γ (точка X лежит на дуге EF), проходящая через точку P. Докажите равенство ∠XAY=∠XYM.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть имеется произвольный четырехугольник CFEB вписанный в ω, пусть A∈CF∩BE проведем касательные AG,AD из точки A к ω и H∈CE∩BF
Лемма: H лежит на GD
Доказательство: по теореме Чевы в угловой форме для EGB и затем выразив через отрезки шестиугольника CGFEDB получается
FEDE⋅CGGF⋅BDBC=1
преобразовав учитывая что AG,AD касательные
FEBC⋅BDDE⋅CGGF=1
AFAB⋅ABAD⋅ACAG=1
откуда AF⋅AC=AD2 верно
Решение: Пусть N середина GD так как ∠CED=90∘ по лемме ∠HNA=∠AEH=90∘ то есть AEHNF вписанный , тогда M∈AN так как FP⋅PE=YP⋅XP=AP⋅PN то есть AYXN вписанный, и учитывая что MX2=MN⋅MA и общий угол ∠AME треугольники MEN,MAE подобны, откуда ∠MXN=∠MAX и ∠PXN=∠YAP откуда ∠XAY=∠YXM=∠XYM .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.