1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, вторая лига

четырехугольнике $ABCD \ $ $\angle B=\angle D = 60^\circ$. Пусть точка $M$ — середина стороны $AD$, а точка $P$ взята на прямой $BC$ так, что $PM \parallel CD$. Рассмотрим точку $X$, лежащую на прямой $CD$, такую, что $BX=MX$. Докажите, что $AB=BP$ тогда и только тогда, когда $\angle MXB=60^\circ$.

Комментарий/решение

Здравствуйте, по условию задачи должно быть BX=MX. Исправьте пожалуйста.

Рисунок геомы: https://photos.app.goo.gl/PfWm19RCJ8NxpUZV9

Из условий следует то что $PM$ - средняя линия, а это означает то что $ABPM$ - ромб(т.к. $AB$ = $BP$). Пусть $AP$ и $BM$ пересекаются в точке $N$, то тогда $MN$ = $BN$, $\angle MNP$ = $\angle BNP$ = $90°$ $\rightarrow$ $A,N,P,X$ лежат на одной прямой(т.к. $BX$=$MX$) $\rightarrow$ $\angle XPC$ = $180$ - $\angle APM$ - $\angle MPC$ = $180-60-60=60°$, $\angle XCP$= $180$ - $\angle PCD$ = $180-120=60°$ $\rightarrow$ $\triangle XCP$ - равносторонний, $PX=CX=CP=MP=BP$ $\rightarrow$ $\angle PMX$ = $\angle PXM$ = $30°$, $\angle PBX$ = $\angle PXB$ = $30°$ $\rightarrow$ $\angle BXM$ = $\angle PXM$ + $\angle BXP$ = 60°, Ч.Т.Д.