1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, вторая лига
четырехугольнике ABCD ∠B=∠D=60∘. Пусть точка M — середина стороны AD, а точка P взята на прямой BC так, что PM∥CD. Рассмотрим точку X, лежащую на прямой CD, такую, что BX=CX. Докажите, что AB=BP тогда и только тогда, когда ∠MXB=60∘.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Здравствуйте, по условию задачи должно быть BX=MX. Исправьте пожалуйста.
Рисунок геомы: https://photos.app.goo.gl/PfWm19RCJ8NxpUZV9
Из условий следует то что PM - средняя линия, а это означает то что ABPM - ромб(т.к. AB = BP). Пусть AP и BM пересекаются в точке N, то тогда MN = BN, ∠MNP = ∠BNP = 90° → A,N,P,X лежат на одной прямой(т.к. BX=MX) → ∠XPC = 180 - ∠APM - ∠MPC = 180−60−60=60°, ∠XCP= 180 - ∠PCD = 180−120=60° → △XCP - равносторонний, PX=CX=CP=MP=BP → ∠PMX = ∠PXM = 30°, ∠PBX = ∠PXB = 30° → ∠BXM = ∠PXM + ∠BXP = 60°, Ч.Т.Д.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.