1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, вторая лига
четырехугольнике ABCD ∠B=∠D=60∘. Пусть точка M — середина стороны AD, а точка P взята на прямой BC так, что PM∥CD. Рассмотрим точку X, лежащую на прямой CD, такую, что BX=CX. Докажите, что AB=BP тогда и только тогда, когда ∠MXB=60∘.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Здравствуйте, по условию задачи должно быть BX=MX. Исправьте пожалуйста.
Рисунок геомы: https://photos.app.goo.gl/PfWm19RCJ8NxpUZV9
Из условий следует то что PM - средняя линия, а это означает то что ABPM - ромб(т.к. AB = BP). Пусть AP и BM пересекаются в точке N, то тогда MN = BN, ∠MNP = ∠BNP = 90° \rightarrow A,N,P,X лежат на одной прямой(т.к. BX=MX) \rightarrow \angle XPC = 180 - \angle APM - \angle MPC = 180-60-60=60°, \angle XCP= 180 - \angle PCD = 180-120=60° \rightarrow \triangle XCP - равносторонний, PX=CX=CP=MP=BP \rightarrow \angle PMX = \angle PXM = 30°, \angle PBX = \angle PXB = 30° \rightarrow \angle BXM = \angle PXM + \angle BXP = 60°, Ч.Т.Д.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.