Processing math: 44%

1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, вторая лига


четырехугольнике ABCD  B=D=60. Пусть точка M — середина стороны AD, а точка P взята на прямой BC так, что PMCD. Рассмотрим точку X, лежащую на прямой CD, такую, что BX=CX. Докажите, что AB=BP тогда и только тогда, когда MXB=60.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
3 года 7 месяца назад #

Здравствуйте, по условию задачи должно быть BX=MX. Исправьте пожалуйста.

  0
9 месяца 29 дней назад #

Рисунок геомы: https://photos.app.goo.gl/PfWm19RCJ8NxpUZV9

Из условий следует то что PM - средняя линия, а это означает то что ABPM - ромб(т.к. AB = BP). Пусть AP и BM пересекаются в точке N, то тогда MN = BN, MNP = BNP = 90° \rightarrow A,N,P,X лежат на одной прямой(т.к. BX=MX) \rightarrow \angle XPC = 180 - \angle APM - \angle MPC = 180-60-60=60°, \angle XCP= 180 - \angle PCD = 180-120=60° \rightarrow \triangle XCP - равносторонний, PX=CX=CP=MP=BP \rightarrow \angle PMX = \angle PXM = 30°, \angle PBX = \angle PXB = 30° \rightarrow \angle BXM = \angle PXM + \angle BXP = 60°, Ч.Т.Д.