1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, вторая лига
Дан прямоугольный треугольник с углами ∠A=90∘ и ∠C=30∘. Обозначим через Γ окружность, проходящую через точку A и касающуюся отрезка BC в его середине. Пусть Γ пересекает отрезок AC в точке N, а описанную окружность △ABC во второй раз точке M. Докажите, что MN⊥BC.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
△AOC:AO=OC=R⇒∠OCA=∠OAC=30o
∠OAC=∠OAN=30o⇒∠NOC=30o
∠NOC+∠NOK=90o⇒∠NOK=60o
OK=NK=MK⇒∠ONK=∠MNK=60o⇒∠SNO=60o
∠SNO+∠SON=90o⇒∠OSN=90o⇒MN⊥BC
Так как Γ касается BC, то середина ΑΝ центр Γ. Симметрия относительно серпера к BC дает что A и M симметричны, значит AB=CM, то есть AM\parallel BC. AN диаметр Γ, значит AM\bot MN, то есть BC\bot MN
Обозначим через K середину BC, проведем MK, AK = \frac{BC}{2}, обозначим \angle{MNA} = \alpha, \angle{MKA} = \alpha, \bigtriangleup AKD - равносторонний, \angle{KAB} = 60, так как K середина окружности описанной около треугольника ABC, \Rightarrow MK=AK, AMK равносторонний \Rightarrow \alpha = 60, MN \bot BC
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.