Processing math: 40%

1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, вторая лига


Дан прямоугольный треугольник с углами A=90 и C=30. Обозначим через Γ окружность, проходящую через точку A и касающуюся отрезка BC в его середине. Пусть Γ пересекает отрезок AC в точке N, а описанную окружность ABC во второй раз точке M. Докажите, что MNBC.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 8 месяца назад #

AOC:AO=OC=ROCA=OAC=30o

OAC=OAN=30oNOC=30o

NOC+NOK=90oNOK=60o

OK=NK=MKONK=MNK=60oSNO=60o

SNO+SON=90oOSN=90oMNBC

пред. Правка 2   0
1 года 5 месяца назад #

Так как Γ касается BC, то середина ΑΝ центр Γ. Симметрия относительно серпера к BC дает что A и M симметричны, значит AB=CM, то есть AM\parallel BC. AN диаметр Γ, значит AM\bot MN, то есть BC\bot MN

пред. Правка 2   2
1 года 6 месяца назад #

Обозначим через K середину BC, проведем MK, AK = \frac{BC}{2}, обозначим \angle{MNA} = \alpha, \angle{MKA} = \alpha, \bigtriangleup AKD - равносторонний, \angle{KAB} = 60, так как K середина окружности описанной около треугольника ABC, \Rightarrow MK=AK, AMK равносторонний \Rightarrow \alpha = 60, MN \bot BC