Processing math: 100%

1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, вторая лига


Касательная прямая в точке A к описанной окружности Γ остроугольного треугольника ABC (AC>AB) пересекает прямую BC в точке P. Пусть O — центр Γ. X — точка прямой OP такая, что AXP=90. На прямых AB и AC выбраны точки E и F соответственно так, что они лежат по одну сторону от прямой OP и EXP=ACX, FXO=ABX. Обозначим через K и L точки пересечения прямой EF с окружностью Γ. Докажите, что прямая OP касается описанной окружности KLX.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  9
1 года 4 месяца назад #

E,F и A одна и та же полуплоскость WRT OP

(EXAB и FXAC)

Лемма

A — внешняя точка WRT (O). Проведите касательные к A, AX и AY; и B — это середина XY.

ω — окружность диаметра BX, разрезанная до (O) в X и Z. Тогда XZ делит AB пополам.

Доказательство

ZB сокращается до (O) внутри Z в W (YWXY)

AXZ=XWZ;  BAX=YXW

XYWXZABXBWZX делит пополам AB

Вернемся к основной проблеме

PXAB=R (AR.AE=AX2)

PXAC=S (AS.AF=AX2)

Тогда R,E,F и S циклические

AXBC=G

H — середина PX и AH, разрезанных до (ABC) в A и W по лемме. A,W,F и E циклические.

AGA-симмедиана ABC (P,G,B,C)=1(P,X,R,S)=1HX2=HR.HSR,W,A и S циклические

При использовании радикальной оси на (EFAW),(REFS) и (RWAS)F,E и H коллинеарны.

P и X — точки, сопряженные WRT (ABC). Тогда окружность диаметра PX ортогональна (ABC)KH.LH=HX2

Сделанный!

Случай 2

E1,F1 та же полуплоскость WRT OP (но A нет)

E1 и F1 лежат на AB и BC такие, что RXE1=EXR  SXF=SXF1

X(E,A,F,H)=X(E1,G,F1,H) (Одинаковые углы) Тогда проективные лучи H,E1 и F1 лежат на одной прямой(Вид из A ). И результат аналогичный