1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, вторая лига
Комментарий/решение:
E,F и A одна и та же полуплоскость WRT OP
(EX⊥AB и FX⊥AC)
Лемма
A — внешняя точка WRT (O). Проведите касательные к A, AX и AY; и B — это середина XY.
ω — окружность диаметра BX, разрезанная до (O) в X и Z. Тогда XZ делит AB пополам.
Доказательство
ZB сокращается до (O) внутри Z в W (YW⊥XY)
∠AXZ=∠XWZ; ∠BAX=∠YXW
△XYW∪↔XZ∼△ABX∪↔BW⇒ZX делит пополам AB
Вернемся к основной проблеме
PX∩AB=R (AR.AE=AX2)
PX∩AC=S (AS.AF=AX2)
Тогда R,E,F и S циклические
AX∩BC=G
H — середина PX и AH, разрезанных до (ABC) в A и W по лемме. A,W,F и E циклические.
AG — A-симмедиана △ABC ⇒(P,G,B,C)=−1⇒(P,X,R,S)=−1⇒HX2=HR.HS⇒R,W,A и S циклические
При использовании радикальной оси на (EFAW),(REFS) и (RWAS)⇒F,E и H коллинеарны.
P и X — точки, сопряженные WRT (ABC). Тогда окружность диаметра PX ортогональна (ABC)⇒KH.LH=HX2
Сделанный!
Случай 2
E1,F1 та же полуплоскость WRT OP (но A нет)
E1 и F1 лежат на AB и BC такие, что ∠RXE1=∠EXR ∠SXF=∠SXF1
X(E,A,F,H)=X(E1,G,F1,H) (Одинаковые углы) Тогда проективные лучи ⇒H,E1 и F1 лежат на одной прямой(Вид из A ). И результат аналогичный
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.