1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, вторая лига

Касательная прямая в точке $A$ к описанной окружности $\Gamma$ остроугольного треугольника $ABC$ ($AC>AB$) пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Пусть $O$ — центр $\Gamma$. $X$ — точка прямой $OP$ такая, что $\angle AXP = 90^\circ$. На прямых $AB$ и $AC$ выбраны точки $E$ и $F$ соответственно так, что они лежат по одну сторону от прямой $OP$ и $$ \angle EXP = \angle ACX, \quad \angle FXO = \angle ABX. $$ Обозначим через $K$ и $L$ точки пересечения прямой $EF$ с окружностью~$\Gamma$. Докажите, что прямая $OP$ касается описанной окружности $\triangle KLX$.

Комментарий/решение

$E,F$ и $A$ одна и та же полуплоскость WRT $OP$

($EX\perp AB$ и $FX\perp AC$)

Лемма

$A$ — внешняя точка WRT $(O)$. Проведите касательные к $A$, $AX$ и $AY$; и $B$ — это середина $XY$.

$\omega$ — окружность диаметра $BX$, разрезанная до $(O)$ в $X$ и $Z$. Тогда $XZ$ делит $AB$ пополам.

Доказательство

$ZB$ сокращается до $(O)$ внутри $Z$ в $W$ ($YW \perp XY$)

$ \angle AXZ = \angle XWZ; \ \ \angle BAX= \angle YXW$

$ \triangle XYW \cup \overleftrightarrow{XZ} \sim \triangle ABX \cup \overleftrightarrow{BW} \Rightarrow ZX$ делит пополам $AB$

Вернемся к основной проблеме

$PX \cap AB=R$ ($AR.AE=AX^2$)

$PX \cap AC=S$ ($AS.AF=AX^2$)

Тогда $R,E,F$ и $S$ циклические

$AX \cap BC=G$

$H$ — середина $PX$ и $AH$, разрезанных до $(ABC)$ в $A$ и $W$ по лемме. $A,W,F$ и $E$ циклические.

$AG$ — $A$-симмедиана $\triangle ABC$ $\Rightarrow (P,G,B,C)=-1 \Rightarrow (P,X,R,S)=-1 \Rightarrow HX^2= HR.HS \Rightarrow R,W,A$ и $S$ циклические

При использовании радикальной оси на $(EFAW), (REFS)$ и $(RWAS) \Rightarrow F,E$ и $H$ коллинеарны.

$P$ и $X$ — точки, сопряженные WRT $(ABC)$. Тогда окружность диаметра $PX$ ортогональна $(ABC) \Rightarrow KH.LH=HX^2$

Сделанный!

Случай 2

$E_1,F_1$ та же полуплоскость WRT $OP$ (но $A$ нет)

$E_1$ и $F_1$ лежат на $AB$ и $BC$ такие, что $\angle RXE_1=\angle EXR \ \ \angle SXF= \angle SXF_1$

$X(E,A,F,H)=X(E_1,G,F_1,H)$ (Одинаковые углы) Тогда проективные лучи $\Rightarrow H,E_1$ и $F_1$ лежат на одной прямой(Вид из $A$ ). И результат аналогичный