Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, вторая лига


Точки P и Q выбраны на стороне BC треугольника ABC так, что расстояния от этих точек до середины BC равны. Перпендикуляры к BC, восстановленные в точках P и Q, пересекают прямые AC и AB в точках E и F соответственно. Прямые PF и EQ пересекаются в точке M. Пусть H1 и H2 являются точками пересечения высот треугольников BFP и CEQ соответственно. Докажите, что AM⊥H1H2.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
3 года 6 месяца назад #

Пусть на отрезке BC выбраны точки Q,P так что CQ=BP, пусть l1,l2 перпендикуляры к Q,P и H1,H2 произвольные точки на l1,l2 соответственно, проведем окружность ω1,ω2 через точки C,Q,H2 и B,P,H1 соответственно и пусть E′∈ω1∩l2, F′∈ω2∩l1 и A′∈BF′∩CE′ и M′∈QE′∩PF′,  V∈CE′∩l1,  L∈F′B∩l2, D∈CH2∩l1, S∈BH1∩l2

Лемма: в данном построении ∠BH1H2=∠A′M′F′,  ∠CH2H1=∠A′M′E′ выполняется ∠H2TH=∠F′E′C,  ∠H1TH=∠E′F′B

Доказательство: Отметим что из вписанности четырехугольников F′H1PB,E′H2QC

∠H2H1B+∠H1H2C=∠QF′P+∠QE′P=180∘−∠M′PQ−∠M′QP=∠F′M′E′

Пусть ∠H2H1B=a, ∠H1H2C=b, ∠BH1P=x, ∠CH2Q=c, ∠HTH1=t, ∠HTH2=d, ∠E′F′B=m,∠F′E′C=n так как по вышеописанному выполняется t+d=m+n покажем что sin(d)sin(t)=sin(n)sin(m) это и будет значит что d=n,t=m

Из теорема Чевы получается: sin(d)sin(t)=sin(a)sin(x)⋅sin(c)sin(b) из треугольников H1H2P, H1H2Q получается sin(a)sin(x)⋅sin(c)sin(b)=H2SPS⋅QDH1D⋅H1PH2Q

из треугольников F′VE′, F′LE′ получается sin(n)sin(m)=F′V⋅sin(∠F′VE′)E′L⋅sin(∠F′LE′) так как sin∠F′VE′=CQCV, sin∠F′LE′=BPBL то есть

sin(n)sin(m)=F′VE′L⋅CQCV⋅BLBP

то есть покажем что H2SPS⋅QDH1D⋅H1PH2Q=F′VE′L⋅CQCV⋅BLBP  (1)

учитывая что CQ=BP, CP=BQ тогда (1)

H2SPS⋅QDH1D⋅H1PH2Q=F′VE′L⋅BLCV

учитывая что QH1⋅QF′=QP⋅BQ и PH2⋅PE′=QP⋅CP

получается что

F′V=F′Q−VQ=QP⋅QBH1Q−CQ⋅E′PCP=QP⋅QBH1Q−CQ⋅PQH2P=QP⋅(QBH1Q−QCH2P)

E′L=PE′−PL=PC⋅PQH2P−BP⋅F′QBQ=PC⋅PQH2P−BP⋅QPH1Q=QP⋅(PCH2P−BPH1Q)

PS=BP⋅H1QQB и QD=CQ⋅H2PQB

H2S=H2P−PS=H2P−CQ⋅H1QQB=H2P⋅QB−CQ⋅H1QQB

H1D=H1Q−QD=H1Q−CQ⋅H2PQB=H1Q⋅QB−CQ⋅H2PQB

так же BLCV=H2PH2Q⋅H1PH1Q

подставляя в (1) учитывая что QDPS=H2PH2Q

BLCV=H2PH2Q⋅H1PH1Q

из вписанности двух четырехугольников по условию, получается

H2PH2Q⋅H1PH1Q=CPCE′⋅F′BBQ=F′BCE′

что верно так как BLF′B=CVCE′=BPBQ

Решение: Пусть H′1,H′2 симметричные точкам H1,H2 относительно BC тогда ∠QF′F=∠H1BC=∠CBH′1 тогда F′P⊥BH1 аналогично E′Q⊥CH′2 из леммы ∠A′M′F′=∠BH1H2=∠BH′1H2 откуда заменяя M′=M, H1=H′1, H2=H′2 получается AM⊥H1H2

Matov