Западно-Китайская математическая олимпиада, 2007 год

Задача №1. Пусть

$T = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ . Найдите количество непустых подмножеств

$A$ множества

$T$ таких, что

$3|S(A)$ и

$5\nmid S(A)$ , где

$S(A)$ обозначает сумму элементов

$A$ .
комментарий/решение

Задача №2. Окружности

$O_1$ и

$O_2$ пересекаются в точках

$C$ и

$D$ . Прямая, проходящая через

$D$ , пересекает

$O_1$ и

$O_2$ во второй раз в точках

$A$ и

$B$ , соответственно. Точки

$P$ и

$Q$ лежат на окружностях

$O_1$ и

$O_2$ , соответственно. Прямые

$PD$ и

$AC$ пересекаются в

$H$ , а прямые

$QD$ и

$BC$ — в

$M$ .

$O$ — центр описанной окружности треугольника

$ABC$ . Докажите, что

$OD\perp MH$ тогда и только тогда, когда

$P,Q,M$ и

$H$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение

Задача №3. Даны такие действительные числа

$a,b,c$ , что

$a+b+c=3$ . Докажите, что

$\frac{1}{5a^2-4a+11}+\frac{1}{5b^2-4b+11}+\frac{1}{5c^2-4c+11}\leq\frac{1}{4}.$
комментарий/решение(3)

Задача №4. Точка

$O$ лежит внутри треугольника

$ABC$ . Докажите, что существуют натуральные числа

$p,q$ и

$r$ такие, что

$|p\cdot\overrightarrow{OA} + q\cdot\overrightarrow{OB} + r\cdot\overrightarrow{OC}| < \frac{1}{2007}.$
комментарий/решение(1)

Задача №5. Существует ли такой треугольник с целыми длинами сторон, что длина самой короткой стороны равна

$2007$ и наибольший угол в два раза больше наименьшего?
комментарий/решение(1)

Задача №6. Найдите все такие натуральные

$n$ , для которых существуют

$x_1,x_2,\ldots,x_n,y\in\mathbb{Z}$ , причем

$x_1,x_2,\ldots,x_n,y\neq 0$ , удовлетворяющие равенствам:

$x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 0,$

$ny^2 = x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2.$
комментарий/решение

Задача №7. Внутри остроугольного треугольника

$ABC$ выбрали точку

$P$ . Прямые

$AP,BP,CP$ пересекают

$BC,CA,AB$ в точках

$D,E,F$ , соответственно. Оказалось, что

$\triangle DEF$ и

$\triangle ABC$ подобны. Докажите, что

$P$ является точкой пересечения медиан

$\triangle ABC$ .
комментарий/решение

Задача №8. Круг поделен

$n$ диаметрами на

$2n$ равных секторов.

$n$ из этих секторов покрашены в синий, а остальные — в красный. Красные сектора пронумерованы числами от

$1$ до

$n$ против часовой стрелки, а синие пронумерованы числами от

$1$ до

$n$ по часовой стрелке. Докажите, что найдется полукруг, в котором есть сектора всех номеров (в каком-то порядке).
комментарий/решение