Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Западно-Китайская математическая олимпиада, 2007 год


Точка O лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что существуют натуральные числа p,q и r такие, что |pOA+qOB+rOC|<12007.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
7 года назад #

A(0,0),B(x,0),C(x1,y1),O(x0,y0)

OA=(x0,y0)

OB=(xx0,y0)

OC=(x1x0,y1y0)

k=pOA+qOB+rOC=(xk,yk)

xk=x0(p+q+r)+qx+rx1

yk=y0(p+q+r)+ry1

|pOA+qOB+rOC|=|k|=x2k+y2k

|k|2=(p+q+r)2(x20+y20)2(p+q+r)(qxx0+r(x1x0+y1y0))+

+q2x2+2qrxx1+r2(x21+y21)=120072

x20+y20=AOAO=|AO|2

qxx0=qAOAB

r(x1x0+y1y0)=rACAO

q2x2=q2ABAB=q2|AB|2

2qrxx1=2qrACAB

r2(x21+y21)=r2ACAC=r2|AC|2

(p+q+r)2|AO|22(p+q+r)(qAOAB+rACAO)+

+q2|AB|2+2qrACAB+r2|AC|2=

=(p+q+r)2|AO|22AO(p+q+r)(qAB+rAC)+(qAB+rAC)2=

=((p+q+r)AOqABrAC)2=120072