Западно-Китайская математическая олимпиада, 2007 год
Точка O лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что существуют натуральные числа p,q и r такие, что
|p⋅→OA+q⋅→OB+r⋅→OC|<12007.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
A(0,0),B(x,0),C(x1,y1),O(x0,y0)
→OA=(−x0,−y0)
→OB=(x−x0,−y0)
→OC=(x1−x0,y1−y0)
→k=p⋅→OA+q⋅→OB+r⋅→OC=(xk,yk)
xk=−x0(p+q+r)+qx+rx1
yk=−y0(p+q+r)+ry1
|p⋅→OA+q⋅→OB+r⋅→OC|=|→k|=√x2k+y2k
|→k|2=(p+q+r)2(x20+y20)−2(p+q+r)(qxx0+r(x1x0+y1y0))+
+q2x2+2qrxx1+r2(x21+y21)=120072
x20+y20=→AO⋅→AO=|→AO|2
qxx0=q→AO⋅→AB
r(x1x0+y1y0)=r→AC⋅→AO
q2x2=q2→AB⋅→AB=q2|→AB|2
2qrxx1=2qr→AC⋅→AB
r2(x21+y21)=r2→AC⋅→AC=r2|→AC|2
⇒(p+q+r)2|→AO|2−2(p+q+r)(q→AO⋅→AB+r→AC⋅→AO)+
+q2|→AB|2+2qr→AC⋅→AB+r2|→AC|2=
=(p+q+r)2|→AO|2−2→AO(p+q+r)(q→AB+r→AC)+(q→AB+r→AC)2=
=((p+q+r)→AO−q→AB−r→AC)2=120072
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.