Западно-Китайская математическая олимпиада, 2007 год
Даны такие действительные числа a,b,c, что a+b+c=3. Докажите, что
15a2−4a+11+15b2−4b+11+15c2−4c+11≤14.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Решение с книги:
Если a<95⇔(a−1)2(5a−9)≤0
⇔5a3−19a2+23a−9≤0
⇔(3−a)(5a2−4a+11)≥24
⇔15a2−4a+11≤124(3−a)
И если a,b,c<9/5, делаем для каждого и получаем что сумма меньше равно 1/4.
Теперь осталось выбрать вариант при котором одно из чисел больше или равно 9/5 (двух и более быть не может, сумма будет превышать 3).Б.О.О. пусть это будет a.
5a2−4a+11=5a(a−4/5)+11≥5∗9/5∗5/5+11=20
⇒15a2−4a+11≤120
Теперь рассмотрим b и c, если посмотреть с точки того что (4b2+1)≥4b по AM GM, то 5a2−4a+11>10
→15b2−4b+11<110
Так же делаем и для c, получаем что сумма <1/20+1/10+1/10=1/4
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.