Processing math: 88%

Западно-Китайская математическая олимпиада, 2007 год


Даны такие действительные числа a,b,c, что a+b+c=3. Докажите, что 15a24a+11+15b24b+11+15c24c+1114.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
3 года 4 месяца назад #

Решение с книги:

Если a<95(a1)2(5a9)0

5a319a2+23a90

(3a)(5a24a+11)24

15a24a+11124(3a)

И если a,b,c<9/5, делаем для каждого и получаем что сумма меньше равно 1/4.

Теперь осталось выбрать вариант при котором одно из чисел больше или равно 9/5 (двух и более быть не может, сумма будет превышать 3).Б.О.О. пусть это будет a.

5a24a+11=5a(a4/5)+1159/55/5+11=20

15a24a+11120

Теперь рассмотрим b и c, если посмотреть с точки того что (4b2+1)4b по AM GM, то 5a24a+11>10

15b24b+11<110

Так же делаем и для c, получаем что сумма <1/20+1/10+1/10=1/4

  3
3 года 4 месяца назад #

Чтобы применить неравенство Йенсена, f должна быть вогнута вообще везде, так как a,b,cR.

В то же время

f

То есть

f^{''}(2) = \frac{282}{12167}

Но чтобы она была вогнута везде f^{''}(2) < 0, что неправда

  0
3 года 4 месяца назад #

спасибо