Западно-Китайская математическая олимпиада, 2007 год

Окружности $ O_1$ и $ O_2$ пересекаются в точках $ C$ и $ D$. Прямая, проходящая через $ D$, пересекает $ O_1$ и $ O_2$ во второй раз в точках $ A$ и $ B$, соответственно. Точки $ P$ и $ Q$ лежат на окружностях $ O_1$ и $ O_2$, соответственно. Прямые $ PD$ и $ AC$ пересекаются в $ H$, а прямые $ QD$ и $ BC$ — в $ M$. $ O$ — центр описанной окружности треугольника $ ABC$. Докажите, что $ OD\perp MH$ тогда и только тогда, когда $ P,Q,M$ и $ H$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Из вписанности $PQHM$, получим, что $$PD\cdot DH=DM\cdot DQ\Leftrightarrow DH(HP-DH)=DM(MQ-MD)\Leftrightarrow DM^2-DH^2=MD\cdot MQ-HP\cdot HD=$$ $$=CM\cdot MB-CH\cdot HA=pow_{O_2}M-pow_{O_2}H=(OM^2-R^2)-(OH-R^2)=OM^2-OH^2,$$ отсюда из теоремы Карно $DO\perp MH$.