Западно-Китайская математическая олимпиада, 2003 год

Задача №1. Числа

$1, 2, \ldots, 8$ расставлены в вершинах куба так, что сумма любых трех чисел на любой грани не меньше

$10$ . Найдите наименьшую возможную сумму всех четырех чисел, стоящих в вершинах одной из граней.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Пусть

$a_1, a_2, \ldots, a_{2n}$ — действительные числа, удовлетворяющие условию

$\sum\limits_{i = 1}^{2n - 1} {{{\left( {{a_{i + 1}} - {a_i}} \right)}^2}} = 1$ . Найдите наибольшее возможное значение выражения

$(a_{n + 1} + a_{n + 2} + \ldots + a_{2n}) - (a_1 + a_2 + \ldots + a_n)$ .
комментарий/решение

Задача №3. Дано натуральное

$n$ . Найдите наименьшее натуральное

$u_n$ такое, что для любого натурального

$d$ среди любых

$u_n$ последовательных натуральных нечетных чисел, кратных

$d$ не меньше, чем кратных

$d$ во множестве

$1, 3, 5, \ldots, 2n - 1$ .
комментарий/решение

Задача №4. Сумма расстояний от точки

$P$ , которая лежит внутри выпуклого четырехугольника

$ABCD$ , до сторон

$AB, BC, CD, DA$ не зависит от выбора точки

$P$ . Докажите, что

$ABCD$ — параллелограмм.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Последовательность

$\{a_n\}$ задана следующим образом:

$a_0 = 0, a_{n + 1} = ka_n + \sqrt {(k^2 - 1)a_n^2 + 1},$

$n = 0, 1, 2, \ldots$ , где

$k$ — фиксированное натуральное число. Докажите, что все члены этой последовательности являются целыми числами и

$2k$ делит

$a_{2n}$ (

$n = 0, 1, 2, \ldots$ ).
комментарий/решение(1)

Задача №6. В выпуклый четырехугольник

$ABCD$ вписали окружность, которая касается сторон

$AB, BC, CD, DA$ в точках

$A_1, B_1, C_1, D_1$ , соответственно. Через

$E, F, G, H$ обозначим середины

$A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1$ , соответственно. Докажите, что

$EFGH$ является прямоугольником тогда и только тогда, когда

$A, B, C, D$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)

Задача №7. Неотрицательные числа

$x_1, x_2, \ldots, x_5$ удовлетворяют равенству

$\sum\limits_{i = 1}^5 {\frac{1}{{1 + {x_i}}}} = 1$ . Докажите, что

$\sum\limits_{i = 1}^5 {\frac{{{x_i}}}{{4 + x_i^2}}} \le 1.$
комментарий/решение(1)

Задача №8.

$1650$ школьников построили в виде таблицы с

$22$ строками и

$75$ столбцами. Известно, что для любых двух столбцов, количество пар школьников одного пола, стоящих в одной строке, не превышает

$11$ . Докажите, что мальчиков не больше

$928$ .
комментарий/решение