Западно-Китайская математическая олимпиада, 2003 год

Последовательность $\{a_n\}$ задана следующим образом: $a_0 = 0, a_{n + 1} = ka_n + \sqrt {(k^2 - 1)a_n^2 + 1},$ $n = 0, 1, 2, \ldots$, где $k$ — фиксированное натуральное число. Докажите, что все члены этой последовательности являются целыми числами и $2k$ делит $a_{2n}$ ($n = 0, 1, 2, \ldots$).

Комментарий/решение

Преобразовывая

$(a_{n+1}-ka_{n})^2 = (k^2-1)a_{n}^2+1$

$a_{n+1}^2-2ka_{n}a_{n+1} + k^2a_{n}^2=k^2a_{n}^2-a_{n}^2+1$

$a_{n+1}^2 = 2ka_{n}a_{n+1}-a_{n}^2+1$

Тогда для $n \Rightarrow n+1$

$a_{n+2}^2 = 2ka_{n+1}a_{n+2}-a_{n+1}^2+1$

вычитывая получается

$a_{n+2}=2k a_{n+1}-a_{n}$

Учитывая что $a_{0}=0, a_{1}=1$ тогда $a_{2}=2k$

Так как последующий член последовательности выражен через разность двух целых предыдущих, то и он целый.

Так как $a_{2}=2k$ тогда $a_{2t+2} = 2ka_{2t+1}-a_{2t}=2ka_{2t+1}-2k \cdot A = 2k \cdot B$