Западно-Китайская математическая олимпиада, 2003 год

Сумма расстояний от точки $P$, которая лежит внутри выпуклого четырехугольника $ABCD$, до сторон $AB, BC, CD, DA$ не зависит от выбора точки $P$. Докажите, что $ABCD$ — параллелограмм.

Комментарий/решение

Пусть $E \in AC \cap BD$ тогда и пусть $EG,EF,EH,EI$ перпендикуляры к $AB,BC,CD,AD$ и пусть $P$ точка на $BD$ без ограничения общности на $BE$ так же пусть $PL,PM,PN,PK$ перпендикуляры на те же соответствующие стороны

Теорема: если $P$ будет лежат на диагоналях $BD,AC$ тогда не существует такого положения точки $P$ что $PM+PL+PN+PK = EG+EF+EH+EI$ $(1)$ кроме как параллелограмма.

Доказательство: для $BD$ положим что $PM=\dfrac{FE}{k}$ тогда $PL=\dfrac{GE}{k}$ так же $PK=\dfrac{EI(ED+BE(1-\dfrac{1}{k}))}{ED}$ и $PN= \dfrac{EH(ED+BE(1-\dfrac{1}{k}))}{ED}$ подставляя в $(1)$ получается ($k \ne 1$)

$$BE \cdot (EI+EH) = ED \cdot (FE+GE) \ \ \ (2)$$

Аналогично для $AC$ получается $$CE \cdot (EI+EG) = AE \cdot (EF+EH) \ \ \ (3)$$

Если $\angle ADB = a, \ \angle CDB = b , \ \angle CBD = c, \ \angle ABD = d , \ \angle ACB=x, \angle CAD=y$ тогда $(2)$ и $(3)$ есть

$$\sin(a)+\sin(b)=\sin(c)+\sin(d)$$

$$\sin(x)+\sin(b+c+x)=\sin(y)+\sin(a+d+y)$$

учитывая что $c+x=a+y$

Преобразовав

$$\cos(\dfrac{b+c}{2}) \cdot \sin(\dfrac{b-c}{2}) = \cos(\dfrac{a+d}{2}) \cdot \sin(\dfrac{d-a}{2})$$

$$\cos( \dfrac{b+c}{2}) \cdot \sin( \dfrac{b+c}{2}+x) = \cos(\dfrac{a+d}{2}) \cdot \sin(\dfrac{a+d}{2}+y)$$

Поделив первое на второе и подставив $x=a+y-c$ преобразуя получается

$$\sin(a+y) \cdot \sin(\dfrac{a+b-c-d}{2}) = 0$$

где $a+d \ne 2y, 2a+2y \ne c-b$

тогда $a+b=c+d$

То есть получается $a+b=c+d, \ a+y=c+x$ выражая $b,y$ с первого и второго, подставляя в $(2), (3)$

получается $$\sin(\dfrac{a-c}{2}) \cdot \sin(\dfrac{a-d}{2}) \cdot \sin(\dfrac{c+d}{2}) = 0$$

$$\sin(\dfrac{a-c}{2}) \cdot \sin(\dfrac{c+d}{2}) \cdot \sin(\dfrac{a-d-2c-2x}{2}) = 0$$

Так как $c \ne -d, \ c \ne -x$ тогда $a \ne d$ значит единственный вариант $a=c$ тогда $b=d, \ x=y$

то есть $ABCD$ параллелограмм.