Западно-Китайская математическая олимпиада, 2001 год

Задача №1.  Последовательность $\{x_n\}$ такова, что $x_1 = \frac {1}{2}, x_{n + 1} = x_n + \frac {x_n^2}{n^2}$. Докажите, что $x_{2001} < 1001$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №2.  Дан прямоугольник $ABCD$ площади 2. Пусть $P$ — точка на стороне $CD$, а $Q$ — точка, в которой вписанная окружность $\triangle PAB$ касается стороны $AB$. Произведение $PA \cdot PB$ зависит от $ABCD$ и $P$. При достижении произведением $PA \cdot PB$ наименьшего возможного значения,
а) докажите, что $AB \geq 2BC$;
б) найдите значение выражения $AQ \cdot BQ$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Пусть $n, m$ — натуральные числа разной четности, причем $n > m$. Найдите все целые $x$ такие, что число $\frac {x^{2^n} - 1}{x^{2^m} - 1}$ является точным квадратом.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Пусть $x, y, z$ — такие действительные числа, что $x + y + z \geq xyz$. Найдите наименьшее возможное значение выражения $\frac {x^2 + y^2 + z^2}{xyz}$.
комментарий/решение(7)

---

Задача №5.  Найдите все действительные $x$ такие, что $[x^3] = 4x + 3$.
комментарий/решение(6)

---

Задача №6.  Точка $P$ лежит вне окружности с центром в $O$. Касательные из точки $P$ касаются окружности в точках $A$ и $B$. $PO$ и $AB$ пересекаются в точке $Q$. $CD$ — произвольная хорда окружности, проходящая через $Q$. Докажите, что центры вписанных окружностей $\triangle PAB$ и $\triangle PCD$ совпадают.
комментарий/решение(1)

---

Задача №7.  Найдите все такие действительные числа $x \in \lbrack 0, \frac {\pi}{2} \rbrack$, что $(2 - \sin 2x)\sin (x + \frac {\pi}{4}) = 1.$
комментарий/решение(1)

---

Задача №8.  Будем называть $A_1, A_2, \ldots, A_n$ $n$-разбиением множества $A$, если
(i) $A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n = A$;
(ii) $A_i \cap A_j \neq \emptyset$. Найдите наименьшее натуральное число $m$ такое, что для любого $14$-разбиения $A_1, A_2, \ldots, A_{14}$ множества $A = \{1, 2, \ldots, m\}$ существует множество $A_i$ ($1 \leq i \leq 14$), в котором есть два числа $a, b$, удовлетворяющие неравенствам $b < a \leq \frac {4}{3}b$.
комментарий/решение

---