Западно-Китайская математическая олимпиада, 2001 год

Пусть $ x, y, z$ — такие действительные числа, что $ x + y + z \geq xyz$. Найдите наименьшее возможное значение выражения $ \frac {x^2 + y^2 + z^2}{xyz}$.

Комментарий/решение

Пусть $ x + y + z =kxyz$

Тогда

$ \sqrt {(\frac {x^2 + y^2 + z^2}{xyz})^2} = \sqrt {\frac {x^4 + y^4 + z^4 + 2x^2y^2+ 2y^2z^2 + 2z^2x^2}{x^2y^2z^2}} = \sqrt {\frac {x^4 + y^4 +z^4 +2x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2z^2x^2}{(xyz)(\frac {x +y+ z}{k})}}$

Следовательно, нам необходимо уменьшить до минимума

$\frac {x^4 + y^4 + z^4 + 2x^2y^2 + 2y^2z^2 +2z^2x^2}{(xyz)*(\frac {x + y + z}{k})}$

$Утверждение:$ $ x^4 + y^4 + z^4 + 2x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2z^2x^2 \ge 3xyz(x + y + z)$

Которая верна применением двух неравенств Мюрхеда

Следовательно, поскольку $ 3xyz(x + y + z) \ge 3xyz(\frac {x +y + z}{k})$, мы имеем:

$ \frac {x^4 + y^4 + z^4 + 2x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2z^2x^2}{(xyz)(\frac {x + y + z}{k})}\ge 3$

Случай равенства достигается когда $ x = y = z = \sqrt {3}$. Конечный минимум равен квадратному корню из этого ответа, то есть $ \sqrt {3}$.

А что скажешь на это: при $x=y=1,z=-1$, $ \dfrac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=-3$

Я тоже хотел решить эту задачу, но понял что оно сложнее чем я думал. Ты как я попался на эту ловушку. Некоторые неравенства наработают при отрицательных действительных чисел.

хаха

Я ещё подумал над этой задачей при $x=y=1$, данное неравенство выполняется для всех $z$, тогда пусть $z<-1$:

$\dfrac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=\dfrac{2+z^2}{z}>z-2$

Но так как $z$ может быть любым числом, то данное выражение не имеет наименьшего значения.

Я думаю что здесь условие не полное.

Есепте положительные деген сөз қалып кеткен сияқты. Әйтпесе, $x=2, y=1$ үшін

$z\to 0^- \Rightarrow \ \ \frac {x^2 + y^2 + z^2}{xyz}=\frac{z^2+5}{2z} \to -\infty$

$x,y,z>0$ үшін

$\frac {x^2 + y^2 + z^2}{xyz}=\sqrt{\big( \frac {x^2 + y^2 + z^2}{xyz} \big)^2}\ge \sqrt{\big( \frac {x^2 + y^2 + z^2}{xyz} \big)^2\cdot \frac{xyz}{x+y+z}}=\sqrt{\frac {(x^2 + y^2 + z^2)^2}{xyz(x+y+z)} }\ge \sqrt{\frac {(xy+yz+zx)^2}{xyz(x+y+z)} }\ge \sqrt{3}$

теңдік жағдайы: $x=y=z=\sqrt{3}$

ну тут нет наименьшего, ошибка

в условии