Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Западно-Китайская математическая олимпиада, 2001 год


Пусть x,y,z — такие действительные числа, что x+y+zxyz. Найдите наименьшее возможное значение выражения x2+y2+z2xyz.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
3 года 10 месяца назад #

Пусть x+y+z=kxyz

Тогда

(x2+y2+z2xyz)2=x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2x2y2z2=x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2(xyz)(x+y+zk)

Следовательно, нам необходимо уменьшить до минимума

x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2(xyz)(x+y+zk)

Утверждение: x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x23xyz(x+y+z)

Которая верна применением двух неравенств Мюрхеда

Следовательно, поскольку 3xyz(x+y+z)3xyz(x+y+zk), мы имеем:

x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2(xyz)(x+y+zk)3

Случай равенства достигается когда x=y=z=3. Конечный минимум равен квадратному корню из этого ответа, то есть 3.

  1
3 года 10 месяца назад #

А что скажешь на это: при x=y=1,z=1, x2+y2+z2xyz=3

Я тоже хотел решить эту задачу, но понял что оно сложнее чем я думал. Ты как я попался на эту ловушку. Некоторые неравенства наработают при отрицательных действительных чисел.

  0
3 года 10 месяца назад #

хаха

  1
3 года 10 месяца назад #

Я ещё подумал над этой задачей при x=y=1, данное неравенство выполняется для всех z, тогда пусть z<1:

x2+y2+z2xyz=2+z2z>z2

Но так как z может быть любым числом, то данное выражение не имеет наименьшего значения.

Я думаю что здесь условие не полное.

  1
1 года 10 месяца назад #

Есепте положительные деген сөз қалып кеткен сияқты. Әйтпесе, x=2,y=1 үшін

z0  x2+y2+z2xyz=z2+52z

  1
1 года 10 месяца назад #

x,y,z>0 үшін

x2+y2+z2xyz=(x2+y2+z2xyz)2(x2+y2+z2xyz)2xyzx+y+z=(x2+y2+z2)2xyz(x+y+z)(xy+yz+zx)2xyz(x+y+z)3

теңдік жағдайы: x=y=z=3

  0
1 года 1 месяца назад #

ну тут нет наименьшего, ошибка

в условии