Западно-Китайская математическая олимпиада, 2001 год
Пусть x,y,z — такие действительные числа, что x+y+z≥xyz. Найдите наименьшее возможное значение выражения x2+y2+z2xyz.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть x+y+z=kxyz
Тогда
√(x2+y2+z2xyz)2=√x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2x2y2z2=√x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2(xyz)(x+y+zk)
Следовательно, нам необходимо уменьшить до минимума
x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2(xyz)∗(x+y+zk)
Утверждение: x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2≥3xyz(x+y+z)
Которая верна применением двух неравенств Мюрхеда
Следовательно, поскольку 3xyz(x+y+z)≥3xyz(x+y+zk), мы имеем:
x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2(xyz)(x+y+zk)≥3
Случай равенства достигается когда x=y=z=√3. Конечный минимум равен квадратному корню из этого ответа, то есть √3.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.