Processing math: 34%

Западно-Китайская математическая олимпиада, 2001 год


Последовательность {xn} такова, что x1=12,xn+1=xn+x2nn2. Докажите, что x2001<1001.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
3 года 11 месяца назад #

Если  xnn2

Тогда  xn+1=xn+x2nn2n2+1n2n24n+12

Заметим что  x112

По индукции  xnn2

Следовательно  x20011000.5<1001

Что и Требовалось Доказать

пред. Правка 4   3
3 года 9 месяца назад #

Улучшу оценку сверху для x2001. Надеюсь более опытные пользователи укажут на ошибку, если он тут есть

Шаг 1. Последовательность xn строго возрастает

Доказательство:

Рассмотрим разность двух соседних членов последовательности

xn+1xn=xn+x2nn2xn=x2nn2=(xnn)2

Понятно, что число в квадрате в поле R неотрицательно, а значит

xn+1xn>0xn+1>xn

В силу произвольности n, получаем, что xn строго возрастает.

Шаг 2 Предположим, что существует предел lim, где M- конечное число (константа). Тут же потребуем, что M \ge 1

Шаг 3. Попытаемся мажорировать (оценить) x_{2001} рядом Эйлера

Ряд Эйлера сходится, известна его сумма (привел ниже)

\sum \limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^2}}=\dfrac{\pi^2}{6}

Запишем несколько членов последовательности {x_n}

x_1=1/2-по условию

x_2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{(1/2)^2}{1^2}=\dfrac{3}{4}

x_3=\dfrac{3}{4}+\dfrac{x_2^2}{2^2}<\dfrac{3}{4}+\dfrac{M^2}{2^2}

Аналогично можно продолжить и до x_{2001}

x_{2001}<\dfrac{3}{4}+M^2\cdot\sum \limits_{n=2}^{2000}{\dfrac{1}{n^2}}<\dfrac{3}{4}+M^2\cdot\sum \limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^2}}=\dfrac{3}{4}+M^2\cdot\dfrac{\pi^2}{6}

Шаг 4 Нахождение приемлимого значения M

Имеем следующие неравенства

x_{2001}<x_{\infty}=M

x_{2001}<\dfrac{3}{4}+M^2\cdot\dfrac{\pi^2}{6}

M>1

Приравняем две оценки сверху

M=\dfrac{3}{4}+M^2\cdot\dfrac{\pi^2}{6}

Получили

M=\dfrac{6\pm 3\cdot\sqrt{10-\pi^2}}{\pi^2-6}

В силу того, что M>1 имеем

M=\dfrac{6+ 3\cdot\sqrt{10-\pi^2}}{\pi^2-6}

То есть, x_{2001}<\dfrac{6+ 3\cdot\sqrt{10-\pi^2}}{\pi^2-6}\approx 1,8305

PS. Вычисление на с++ дало результат x_{2001}=0,717172.

  1
1 года 11 месяца назад #

Берілген формула арқылы: x_2= \frac{3}{4}, x_3=\frac{57}{64}.

n\ge 3 үшін x_n<\frac{n+1}{2} екенін индукциямен дәлелдейміз.

x_3=\frac{57}{64}<\frac{3+1}{2}

x_k<\frac{k+1}{2} теңсіздігі дұрыс деп жориық. k\ge 3 үшін:

x_{k+1}=x_k + \frac {x_k^2}{k^2}<\frac{k+1}{2}+\frac{(k+2)^2}{4k^2}= \frac{k+2}{2} - \frac{k^2-2k-1}{4k^2}<\frac{k+2}{2}

Демек, x_{2001}<\frac{2001+1}{2}=1001.