Западно-Китайская математическая олимпиада, 2001 год
Комментарий/решение:
Если xn≤n2
Тогда xn+1=xn+x2nn2≤n2+1n2n24≤n+12
Заметим что x1≤12
По индукции xn≤n2
Следовательно x2001≤1000.5<1001
Что и Требовалось Доказать
Улучшу оценку сверху для x2001. Надеюсь более опытные пользователи укажут на ошибку, если он тут есть
Шаг 1. Последовательность xn строго возрастает
Доказательство:
Рассмотрим разность двух соседних членов последовательности
xn+1−xn=xn+x2nn2−xn=x2nn2=(xnn)2
Понятно, что число в квадрате в поле R неотрицательно, а значит
xn+1−xn>0→xn+1>xn
В силу произвольности n, получаем, что xn строго возрастает.
Шаг 2 Предположим, что существует предел lim, где M- конечное число (константа). Тут же потребуем, что M \ge 1
Шаг 3. Попытаемся мажорировать (оценить) x_{2001} рядом Эйлера
Ряд Эйлера сходится, известна его сумма (привел ниже)
\sum \limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^2}}=\dfrac{\pi^2}{6}
Запишем несколько членов последовательности {x_n}
x_1=1/2-по условию
x_2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{(1/2)^2}{1^2}=\dfrac{3}{4}
x_3=\dfrac{3}{4}+\dfrac{x_2^2}{2^2}<\dfrac{3}{4}+\dfrac{M^2}{2^2}
Аналогично можно продолжить и до x_{2001}
x_{2001}<\dfrac{3}{4}+M^2\cdot\sum \limits_{n=2}^{2000}{\dfrac{1}{n^2}}<\dfrac{3}{4}+M^2\cdot\sum \limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^2}}=\dfrac{3}{4}+M^2\cdot\dfrac{\pi^2}{6}
Шаг 4 Нахождение приемлимого значения M
Имеем следующие неравенства
x_{2001}<x_{\infty}=M
x_{2001}<\dfrac{3}{4}+M^2\cdot\dfrac{\pi^2}{6}
M>1
Приравняем две оценки сверху
M=\dfrac{3}{4}+M^2\cdot\dfrac{\pi^2}{6}
Получили
M=\dfrac{6\pm 3\cdot\sqrt{10-\pi^2}}{\pi^2-6}
В силу того, что M>1 имеем
M=\dfrac{6+ 3\cdot\sqrt{10-\pi^2}}{\pi^2-6}
То есть, x_{2001}<\dfrac{6+ 3\cdot\sqrt{10-\pi^2}}{\pi^2-6}\approx 1,8305
PS. Вычисление на с++ дало результат x_{2001}=0,717172.
Берілген формула арқылы: x_2= \frac{3}{4}, x_3=\frac{57}{64}.
n\ge 3 үшін x_n<\frac{n+1}{2} екенін индукциямен дәлелдейміз.
x_3=\frac{57}{64}<\frac{3+1}{2}
x_k<\frac{k+1}{2} теңсіздігі дұрыс деп жориық. k\ge 3 үшін:
x_{k+1}=x_k + \frac {x_k^2}{k^2}<\frac{k+1}{2}+\frac{(k+2)^2}{4k^2}= \frac{k+2}{2} - \frac{k^2-2k-1}{4k^2}<\frac{k+2}{2}
Демек, x_{2001}<\frac{2001+1}{2}=1001.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.