Западно-Китайская математическая олимпиада, 2001 год

Точка $P$ лежит вне окружности с центром в $O$. Касательные из точки $P$ касаются окружности в точках $A$ и $B$. $PO$ и $AB$ пересекаются в точке $Q$. $CD$ — произвольная хорда окружности, проходящая через $Q$. Докажите, что центры вписанных окружностей $\triangle PAB$ и $\triangle PCD$ совпадают.

Комментарий/решение

У нас

$QP*QO = QA*QB = QC*QD$ откуда $PCOD$ вписанный откуда $\angle CPO = \angle OPD$

Пусть $PO$ пересекает $(O)$ в $I,K$

$(P,Q,I,K) = -1$ и $\angle IDK = 90^o$ откуда $DO$ биссектриса $\angle PDC$ откуда $I$ инцентр треугольника $PCD$

Аналогично доказывается $I$ инцентр треугольника $PAB$

Что и требовалось доказать