Западно-Китайская математическая олимпиада, 2001 год
Точка P лежит вне окружности с центром в O. Касательные из точки P касаются окружности в точках A и B. PO и AB пересекаются в точке Q. CD — произвольная хорда окружности, проходящая через Q. Докажите, что центры вписанных окружностей △PAB и △PCD совпадают.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
У нас
QP∗QO=QA∗QB=QC∗QD откуда PCOD вписанный откуда ∠CPO=∠OPD
Пусть PO пересекает (O) в I,K
(P,Q,I,K)=−1 и ∠IDK=90o откуда DO биссектриса ∠PDC откуда I инцентр треугольника PCD
Аналогично доказывается I инцентр треугольника PAB
Что и требовалось доказать
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.