Западно-Китайская математическая олимпиада, 2001 год

Точка $ P$ лежит вне окружности с центром в $ O$. Касательные из точки $ P$ касаются окружности в точках $ A$ и $ B$. $ PO$ и $ AB$ пересекаются в точке $ Q$. $ CD$ — произвольная хорда окружности, проходящая через $ Q$. Докажите, что центры вписанных окружностей $ \triangle PAB$ и $ \triangle PCD$ совпадают.

Комментарий/решение

У нас

$ QP*QO = QA*QB = QC*QD$ откуда $ PCOD$ вписанный откуда $ \angle CPO = \angle OPD$

Пусть $ PO$ пересекает $ (O)$ в $ I,K$

$ (P,Q,I,K) = -1$ и $ \angle IDK = 90^o$ откуда $ DO$ биссектриса $ \angle PDC$ откуда $ I$ инцентр треугольника $ PCD$

Аналогично доказывается $ I$ инцентр треугольника $ PAB$

Что и требовалось доказать