Западно-Китайская математическая олимпиада, 2001 год

Найдите все такие действительные числа $x \in \lbrack 0, \frac {\pi}{2} \rbrack$, что $(2 - \sin 2x)\sin (x + \frac {\pi}{4}) = 1.$

Комментарий/решение

ответ $x=\dfrac{\pi}{4}$

1)Замена $t=x-\dfrac{\pi}{4}\Rightarrow x = t +\dfrac{\pi}{4}\Rightarrow x +\dfrac{\pi}{4}=t +\dfrac{\pi}{2}$

2)$\sin \left(x +\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin \left(t +\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos t$

3)$\sin 2x = \sin \left(2t +\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos 2t$

4)Итог $(2-\cos 2t)\cos t=1$

5)Косинус двойного угла

$$2-\cos 2t = 2(\sin ^2 t + \cos ^2 t) - (-\sin ^2 t + \cos ^2 t) = 3\sin ^2 t + \cos ^2 t$$

6)Замена $y=\cos t$

$$(2-\cos 2t)\cos t=1\Rightarrow (3\sin ^2 t + \cos ^2 t)\cos t=1\Rightarrow (3(1-y^2)+y^2)y=1$$

$$-2y^3 + 3y- 1 = 0\Rightarrow y_{1,2}=1;y_3=-2$$

7)Обратная замена

$$\cos t = 1\Rightarrow t=2\pi n,n\in\mathbb{N}\Rightarrow x = t +\dfrac{\pi}{4}$$

$$x = 2\pi n +\dfrac{\pi}{4}$$

Учитывая $x \in \lbrack 0, \frac {\pi}{2} \rbrack$, ответ $x=\dfrac{\pi}{4}$