қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. $ABC$ үшбұрышының биіктіктері $CK$ және $BL$ болсын. $AB+CK=AC+BL$ теңдігі орындалатындай барлық $ABC$ үшбұрышының түрлерін табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Төрт есеп шешуге берілген математикалық олимпиадада 25 оқушы қатысады. Әрбір есеп шешілген не шешілмеген(бөлігін шығарды деген қарастырылмайды) болып есептеледі. Төртеуі де ортақ бір есепті шығарған(немесе төртеуі ешбір есеп шығармаған) төрт оқушы табылатынын немесе бірінің шығармаған есептерін бірі шығарған екі оқушы табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Келесі теңсіздіктер орындалатындай барлық $p$ және $q$ жай сандар жұптарын табыңыздар: $0 < \left| {\dfrac{p}{q}-\dfrac{q}{p}} \right| < \dfrac{4}{{\sqrt {pq} }}.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $a$, $b$, $c$ оң сандарының қосындысы 1-ге тең. Теңсіздікті дәлелдеңіздер: $$abc \leq (ab+bc+ac)(a^2+b^2+c^2 )^2.$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $s=1!(1^2+1+1)+2!(2^2+2+1)+\dots+2011!(2011^2+2011+1)$ болсын. $\dfrac{{s+1}}{{2012!}}$ өрнегінің мәнін табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ цифрларының әрбірі дәл бір реттен кездесетін барлық жеті таңбалы сандар өсу ретімен нөмірленген(1234567 санының нөмірі 1-ге тең). 3654721 санының нөмірін табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)