Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 11 класс

В математическом соревновании, на котором предлагается решить 4 задачи, принимают участие 25 школьников, Каждая задача оценивается только как решенная или нерешенная (частичные решения не рассматриваются). Докажите, что либо найдутся 4 участника, которые решили одни и те же задачи (или все четверо не решили ни одной), либо 2 участника, каждый из которых решил те, и только те задачи, которые не решил другой.

Комментарий/решение

Всего 15 вариантов решений. Если они все встретятся, то среди них легко найти два противоположных решения. Чтобы они противоположных решений не было, нужно сделать так: взять какое нибудь решение и убрать его противоположность. Тогда количество решений сузится до 8. $25=8×3+1$, а значит, что в таком случае обязательно найдется 4 одинаковых решения.