Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Опишите все треугольники

$ABC$ , для которых справедливо равенство

$AB+CK=AC+BL$ , где

$CK$ и

$BL$ – высоты треугольника.
комментарий/решение(1)

Задача №2. В математическом соревновании, на котором предлагается решить 4 задачи, принимают участие 25 школьников, Каждая задача оценивается только как решенная или нерешенная (частичные решения не рассматриваются). Докажите, что либо найдутся 4 участника, которые решили одни и те же задачи (или все четверо не решили ни одной), либо 2 участника, каждый из которых решил те, и только те задачи, которые не решил другой.
комментарий/решение(2)

Задача №3. Найдите все пары простых чисел

$p$ и

$q$ , для которых

$0 < \left| {\frac{p} {q} - \frac{q} {p}} \right| < \frac{4} {{\sqrt {pq} }}.$
комментарий/решение(1)

Задача №4. Сумма положительных чисел

$a, b, c$ равна 1. Докажите, что выполняется неравенство

$abc \leq (ab + bc + ac)(a^2 + b^2 + c^2 )^2 .$
комментарий/решение(1)

Задача №5. Обозначим через

$s = 1!(1^2 + 1 + 1) + 2!(2^2 + 2 + 1) + \dots + 2011!(2011^2 + 2011 + 1).$ Вычислите значение выражения

$\dfrac{{s + 1}}{{2012!}}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Все семизначные числа, содержащие в своей десятичной записи каждую из цифр 1,2,3,4,5,6,7 ровно по одному разу, пронумерованы по возрастанию (число 1234567 имеет номер 1). Какой номер имеет число 3654721?
комментарий/решение(1)