қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Опишите все треугольники $ABC$, для которых справедливо равенство $AB+CK=AC+BL$, где $CK$ и $BL$ – высоты треугольника.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В математическом соревновании, на котором предлагается решить 4 задачи, принимают участие 25 школьников, Каждая задача оценивается только как решенная или нерешенная (частичные решения не рассматриваются). Докажите, что либо найдутся 4 участника, которые решили одни и те же задачи (или все четверо не решили ни одной), либо 2 участника, каждый из которых решил те, и только те задачи, которые не решил другой.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Найдите все пары простых чисел $p$ и $q$, для которых $
0 < \left| {\frac{p}
{q} - \frac{q}
{p}} \right| < \frac{4}
{{\sqrt {pq} }}.
$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Сумма положительных чисел $a, b, c$ равна 1. Докажите, что выполняется неравенство
$abc \leq (ab + bc + ac)(a^2 + b^2 + c^2 )^2 .$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Обозначим через $s = 1!(1^2 + 1 + 1) + 2!(2^2 + 2 + 1) + \dots + 2011!(2011^2 + 2011 + 1).$
Вычислите значение выражения $\dfrac{{s + 1}}{{2012!}}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Все семизначные числа, содержащие в своей десятичной записи каждую из цифр 1,2,3,4,5,6,7 ровно по одному разу, пронумерованы по возрастанию (число 1234567 имеет номер 1). Какой номер имеет число 3654721?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)